如何证明 不存在两个有理数a、b，使得 a＋√b=³√2？ 第1页
1
ling-jian-94 网友的相关建议:
本质上是个数域相关的问题，但是 这种形式有个很标准的做法，就是凑个共轭根式 ，然后形成一个二次方程
则若存在这样的a和b，则
是这个二次方程的根。熟悉数域理论的自然会发现已经矛盾了，不过我们不用数域理论，而是直接推导一个矛盾出来：
我们知道 也是 的根，那么我们将前面的二次方程两边乘以x得到：
代入 整理
再把第一式乘以2a：
两式相减：
如果 不为0，则x一定是个有理数，而我们显然知道 不是个有理数
（如果一定要证明，可以设 为既约分数，则 ，得到p和q都是2的倍数，矛盾）
因此必须有
代入得到
显然不存在这样的有理数（证明同前面的 ），矛盾
实际上上面的过程就是做了一个多项式的带余除法，即
可以看出，一个三次方程和一个二次方程的公共根的问题，和多项式的分解密切相关，它们有公共根的情况只有两种：要么有一个公共的一次有理多项式因子，要么三次方程能除尽这个二次方程。而 这样的多项式在有理数域里是不可约的，因此也就不可能和一个有理系数二次方程有公共的根。这样的思路最终就可以导出数域的概念。
plel 网友的相关建议:
这是我看到的最准确的总结。
总的来说，就是中国的高考相对公平，所以性价比极高，所以其他活动都可以适当让步。
1
相关话题
诗歌《冰雹之路》，大家觉得如何？数学与物理领域有哪些糟糕的术语？
请问下面这道题怎么解决？
祖冲之的圆周率的出处在哪里？
你喜欢数学吗，为什么？
数学中，f'(x) 和 (f(x))' 到底有什么区别？
为什么法国历史上产生了如此多的一流数学家？
为什么 0+1=1 而 0+2≠1？
对于多元线性回归，如何证明任一自变量的系数等同于忽略其他变量后一元线性回归的系数？
数学史上有哪些比较著名的猜想因为有反例的存在而没有成为定理？
前一个讨论
质量是怎么转变成能量的？
下一个讨论
条件概率属不属于随机变量？为什么？
相关的话题
如何证明半径为 a 的圆内的一条闭曲线必有一点点曲率大于 1/a？如何证明圆上若干点构成的多边形最大面积在正多边形时取到？
亚里士多德车轮悖论的正确解释是什么？
过反比例函数上任意三点连成的三条线段的中点的圆过定点吗？为什么？
几乎处处收敛和依测度收敛的区别是什么呢？
学随机分析需要把实分析和泛函学的很深吗?
人们专门弄了一个自然对数函数的底数 e，是为什么？
如何用十分中二的方式解数学题？
数学系课程中，《解析几何》到底有什么用？
如何看待菲尔兹和阿贝尔奖双料得主 Michael Atiyah 宣称自己证明了黎曼猜想？
数学是怎样走进音乐和国际象棋的世界中的？数学在两者的发展过程中产生了怎样的影响？
为什么数学 PhD 们喜欢围棋？
求解决这道题目？
微软的计算器为什么输入 ln 2 是先输入 2 再输入 ln？
数学系的学渣该怎么找到工作？
如何判断任意无理数的无理数次方是否为有理数或是无理数？
连分式近似怎么操作？
根号 2 的平方为什么等于整数 2？
1，2，3，…，n。去掉1，将2挪在n后；去掉3，将4挪在2后，按此规律进行下去，最后留下的数字是？
三角形存在垂心，请问任意四面体是否存在垂心？何以证明？坐标是什么？
有没有手算根号pi的方法？
如何严格证明斐波那契数列的这两个性质？
该函数的最小值是多少?应该怎么解？思路是什么？
计算复杂性理论是否具有足够的现实意义，如今有哪些比较「现实」的应用？
如果1+1＝0你认为是什么原因？
为什么度量空间中聚点等同于极限点？
这个定积分怎么搞？
高四了，数学只有七八十分，距离高考就剩一百多天了，真的很迷茫。该怎么提分啊?
对于任意既约分数，都可以分解成有限个不同奇数的倒数和吗？
数学该不该被踢出高考？数学有什么用处？