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平分三角形面积的所有直线的所有交点是什么图形? 第1页

  

user avatar   wang-zheng-12-87 网友的相关建议: 
      

谢邀。算一下就知道了~

把问题转化为,任取三角形内部一点,什么时候经过这点的直线平分面积有不止一个解。

那我们先来看什么时候有解。然后再来看解不止一个的情况。

记三角形为 ,三角形内任意一点为 . 那么有凸组合 ,其中 . 所以有向量组合 .

假设直线 经过 并且 , ,其中 . 那么必然有 .

如果我们要求三角形 是整个的一半,那就必须要 这个方程有解. 可以看出 是关于 的二次函数,所以如果要有解,必须是满足以下两种情况:

  1. 两个端点处( 和 时)满足 不同号
  2. 端点处同号(事实上只能是 ),但是能在对称轴处取到 .

1的情况画出来是这样一个区域(虚线都是中线):

其实这是平凡的情况,因为当顶点( )变动的时候,这些都是两两不相交的,不会出现多个解。

2如果有解,需要首先保证二次函数的对称轴落在可行域里面。对称轴的条件是 (这里其实不必真的把二次函数写出来,均值不等式就好了)。所以要使得 ,就必须有 . 在此基础上,要使得对称轴处函数值满足 ,可以解到 ,这是一条双曲线. 所以这样画出来是这么一个区域(虚线是中线和中位线):

注意到中心 满足 ,所以一定在上面的双曲线的里面。而中线和中位线的交点 满足 ,恰好在双曲线上。(一开始算错了……感谢 @张楚星 指正)

那么最后的结果就是这样一个形状了(虚线是中位线,三个角是中位线的中点,中间是三段双曲线):




  

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