平分三角形面积的所有直线的所有交点是什么图形？ 第1页

谢邀。算一下就知道了~

把问题转化为，任取三角形内部一点，什么时候经过这点的直线平分面积有不止一个解。

那我们先来看什么时候有解。然后再来看解不止一个的情况。

记三角形为 ，三角形内任意一点为 . 那么有凸组合 ，其中 . 所以有向量组合 .

假设直线 经过 并且 ， ，其中 . 那么必然有 .

如果我们要求三角形 是整个的一半，那就必须要 这个方程有解. 可以看出 是关于 的二次函数，所以如果要有解，必须是满足以下两种情况：

1. 两个端点处（ 和 时）满足 不同号
2. 端点处同号（事实上只能是 ），但是能在对称轴处取到 .

1的情况画出来是这样一个区域（虚线都是中线）：

其实这是平凡的情况，因为当顶点（ ）变动的时候，这些都是两两不相交的，不会出现多个解。

2如果有解，需要首先保证二次函数的对称轴落在可行域里面。对称轴的条件是 （这里其实不必真的把二次函数写出来，均值不等式就好了）。所以要使得 ，就必须有 . 在此基础上，要使得对称轴处函数值满足 ，可以解到 ，这是一条双曲线. 所以这样画出来是这么一个区域（虚线是中线和中位线）：

注意到中心 满足 ，所以一定在上面的双曲线的里面。而中线和中位线的交点 满足 ，恰好在双曲线上。（一开始算错了……感谢 @张楚星 指正）

那么最后的结果就是这样一个形状了（虚线是中位线，三个角是中位线的中点，中间是三段双曲线）：