怎样算原神up池到第x抽才出up角色的概率（1≤x≤180）？ 第1页

1. 首先我們計算從第一回合開始，關於抽到五星角色的機率。令 為第 n 回合時首次抽到五星的機率。我們有

令 U(n) 為第 n 回合時，仍然沒抽過任何五星的機率 (這可以看成是存活機率)，我們有

令 P(n) 為第 n 回合時，已經抽到第一個五星的機率 ，則有

下圖中藍色跟綠色的曲線分別代表 U(n) 跟 P(n)。注意到 U(n) 從 1下降到0，P(n)則相反。P(n) 可以看成累積機率分佈 (CDF, cumulative distribution function)。

接著我們令 為每次抽卡實驗中，第一次抽到五星的事件發生在第 n 回合的機率。 就是對應到 P(n) 差分的機率質量分佈 (PMF, probability mass function)：

2. 按照規則，如果第一次抽到五星不是up角色，那麼第二次抽到的五星就一定是 up 角色。所以這可以視為一個首達時間 (first hitting time) 跟次達時間 (second hitting time) 的問題。在這個例子中，首達時間的分佈就是 。

抽到第一個五星後，因為抽卡機率重置，所以次達時間的分佈 等於兩次首達時間相加。隨機變數相加時，對應的 PDF 必須做卷積 (convolution) 。也就是說

在這個例子中，有一半的機率是第一輪抽到up，另一半機率是第二輪抽到up。因此，由條件機率的計算，抽到 up 的時間分佈是

下圖中表示出了這些機率分佈。其中 f(n) 的期望值大約在 n=93.44 左右。因為到第 180 抽一定會抽中up，我們有

當然，只有理論還是不夠理想，於是我寫了簡單的程式進行模擬。下圖是 10000 次抽卡結果的分佈，藍圈代表模擬結果，黑線是理論計算的 f(n)。(教授看了十分滿意，直呼讓我多念十年博班)

另外，如果想求 n 抽後能有一個 up 的累積機率，可以由下式計算：

可以看出，大約有 6% 的人會在 20 抽內就能抽到 up 角色，但也有大約 20% 的人經過 150 抽後仍未抽到 up 角色。

最後，祝大家都早點抽到喜歡的角色。