数学系本科生如何学好实变函数与泛函分析？ 第1页

谢邀。

注意到题目是如何学好，而不是该学什么或者为什么学要不要学。

简单说两点。第一，学十遍是有道理的。抽象的东西反复学反复用自然会熟练慢慢形成直觉。第二，可以试着以讲授这门课为目的去学习，学完了看能不能给别人讲。如果能给别人讲明白了，自己肯定得先明白了。

我的个人经历：本科学了一遍，实变周民强勉强跟上，泛函完全不记得怎么学的；博士第一年准备资格考试学了一遍，没有教材，最后分析的成绩很好；工作以后开始讲这两门课，用Royden的实分析，讲过一遍之后才敢说自己算是懂了。讲第二遍开始基本可以不看书。然而课还是要备的，要考虑每次讲什么和怎么讲更好，每讲一遍也都会有一些新的想法和体会。

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谢邀。我个人算是半个做泛函分析的，所以关注我的也知道我答题一般集中于分析类的题目。 我接这个题目总结一下学习分析学的基本思路和实变和泛函这个这两个具体科目的一个脉路。

以下两个思路我在不同的场合说过，我再说一次。 然后，我把这两个思路应用到具体的两个科目。

第一个思路：具体。分析学越到后期越抽象，很多人挽救的方法是“图像”，但是这个方法的弊端是容易把自己引入阴沟，因为分析上的反直觉的例子一大堆，而且过于依赖图像会让自己后期做题目的时候翻车：因为你会错误地认为某个结果是对的，然后就卡在那里。 最好的方法是“具体例子”。用具体的例子来记忆和理解定理是非常重要的一步，但是很显然很多人都忽视这一点。

第二个思路： 联系。 分析学，特别是泛函分析的理论本质上是一种总结，它总结自很多具体的应用。最大的一块是偏微分方程，所以搞偏微分方程的几乎泛函学得都不差。 不无夸张的说，教科书上每一个泛函概念对应了一个应用。 很多人学完泛函理论后脑子空空是自然的，因为你不知道这些概念有什么用，有限维的应用是不够的，只有无限维的才有意义。

实变函数上一般分为几个块：基础集合论，这些理论在后期证明中有用，因为你必须会构造形如

的集合，然后通过恰当的构造来证明定理。 第二个是一般测度空间上的积分理论，我觉得法图引理是根本的，因为它是无条件的，而且可以推出控制收敛定理。我推荐的路径是：单调递增定理-法图引理-控制收敛定理（这三个是三位一体的，互相都可以推导，大家可以玩一下）。 每一个都找出定理的例子，比如控制收敛定理中下面的例子：

,可以发现, 但是 .

明白这个例子后，。你就能 理解控制函数必须存在的一个“原因”。第三个是borel/radon measure和 Riesz representation theorem. 这个定理非常有用也非常长。请具体掌握，特别是如何从中如何推出勒贝格积分，以及Littlewood的几个结果：比较可测函数和连续函数的那几个结果。 第四，以Radon-Nikodym为中心的测度的分解和完全连续。 它的主要应用是构造L^p空间上的泛函和另一个版本。对了到这里，你就可以学另外一个Riesz representation theorem（连续函数空间上的泛函）。到这里实变和泛函就开始纠缠起来了，所以我推荐双修的（阿弥陀佛） 第五，富比尼定理，这个我学得一般，但是也必须要学得都好，大家一般就是用。 本科生学到这几块就差不多了。 书我推荐下面的几本：《实分析中的反例》（查阅各种反例，重塑三观），rudin的《实分析和复分析》。

因为学校课程的限制，一般大学是人为的割裂了泛函和实变函数，但是两者其实是有机的整体。 泛函分析是一个超级体系，非常繁杂。我们这里只谈本科级别的，后续的内容十倍百倍于这些基础。 这里不展开了，否则给我一个桌子，我掰开了说，揉碎了说，可以说几个月不停。

泛函的好东西很多，我只提限制于本科的内容。我下面列出来的这应用请掌握，只有掌握了这些你才能把自己的理解推到一个新的层次，否则你学完泛函脑子空空，只会记住一些抽象的概念和结果。

好了，第一块内容：范数空间,度量空间：里面涉及到到紧性，这个概念可以用来证明代数基本定理。这些简单的概念已经可以得到了很强的结果：Korovkin's theorem和stone- Weierstraß theorem。 这个定理可以用来证明Bohman's theorem, Berstein 和 Weierstraß theorem，Fejer's theorem. 这一大串定理，其实回答的是一个问题，就是逼近问题，就是给一个用多项式(三角多项式)逼近连续函数的方法 ，如何判断这个方法是可靠的。下面我给一个1950s年证明的结果，很漂亮，而且中间不涉及很难的数学概念。

第二块内容：banach空间和不动点定理。这里主要掌握压缩不动点（不动点理论一大套）即可，并且知道如何用它证明一类常微分方程的存在性唯一性： 和多元函数的隐函数定理。还有，AA定理（Ascoli-Arzela），这个定理可以用来证明 的另外一个存在性定理。

第三块内容： 希尔伯特空间，正交性投影映射。 第一条就是投影映射，以及如何用投影映射解线性系统，包括所谓的CG。 第二条是Riesz 引理, 主要用它研究reproducing kernels.；Hahn-Banach的最简单形式； 第三条是完全正交系列，主要可以用于傅立叶分析。

第四块内容： 线性泛函分析的大定理： 这几个定理是最最最重要的结果，一定要掌握好。虽然我下面列出了很多不同的定理，但是本质上只有两个定理：baire纲定理和hahn-banach。其他东西都是这两个推导出来的。

baire纲定理：这个定理可以巧妙的证明多项式空间不可能完备；还可以证明处处连续而且处处不可导函数是存在的。非常优美的证明，把泛函的魅力发挥到了一个层次。 baire纲定理也可以证明Banach-steinhaus 定理（共鸣定理）。这个定理的应用范围很大：可以研究数值逼近，Lagrange和Fourier逼近的不收敛性，也就是说可以在在不构造反例的情况下证明这个反例存在。然后是开映射定理，这个定理可以研究一类二阶方程：

之后是是闭图像定理，这个定理可以用来研究抽象的Toeplitz算子，（任何定义在整个希尔伯特空间上的自伴算子都是连续的）。 最后的定理是Hahn-Banach定理，这个定理的牛逼之处在于，有了它你就能研究对偶算子，对偶算子的厉害之处很多，我提一个最重要的应用吧。抽象方程 的存在性和唯一性和对偶问题,这里 就是的对偶算子。我来说一下其中的逻辑吧：证明一个方程的唯一性是很简单的，但是存在性比唯一性要难得多，为了证明一个方程的存在性，我们只需要构造它的它对偶问题，那个问题也是一个方程，我们证明这个对偶唯一性从而证明原问题的存在性。这套理论是处理椭圆形方程的一般思路。什么，你没听懂？我尽力了。

推荐的书籍：Ciarlet的 "linear and nonlinear functional analysis"和H. Brezis "functional analysis, sobolev spaces and partial differential equations". 后者应该有中文译本。 前者应该只有英文。

我正在个人专栏中专门串讲泛函分析：

分析的那些事 - 知乎专栏

谢邀。

实变把Lebesgue测度的构造过程，定义Lebesgue积分的过程 过一遍，把Lebesgue控制收敛定理及几个等价形式、还有可测集相关的几个定理记住就行了。你学的时候还是要好好学，题目认真做——不过做不出来也没必要太自责，因为实变的题目确实可以出得很难。然后学完之后过两年，很多细节估计你也忘得差不多了，尤其是你不做分析、不做概率论的话。比如我现在就记得几个大定理了，证明记不清了，不过把实变书给我看一遍我还是能很快回忆起大部分重要内容的。其实吧，学测度与积分那一套东西，很大程度是为了让你知道“世界上有个东西叫测度，实数集上存在一个东西叫Lebesgue测度、差不多是区间长度的推广”，以及“通过测度可以建立一套比较完善的积分理论”。然而真正要积分一个具体函数的时候，或者是对一个积分进行估计的时候，基本还是用的微积分那些技巧。。真正要用到测度积分的那些定义的细节的场所，我是见得不多的。

泛函么，首先一定要把线性代数学好。有限维的线性代数都没学好，无限维的线性代数自然只能懵逼。然后基本的点集拓扑也要知道。我觉得 把泛函和拓扑一起学 其实挺不错的，因为泛函提供了非常丰富的拓扑上的例子，比如同一个空间带各种不同拓扑（范数拓扑，强拓扑，弱拓扑，弱＊拓扑，等等）的例子。然后Banach空间的几个大定理，比如Banach延拓，开映射闭图像等等几个等价定理，Riesz表示定理等等，要记住。最后具体的例子，比如L^p,l^p空间，积分算子等等，也要掌握。你如果不做抽象的算子代数的话，真正用到泛函分析，很多时候还是在某个具体的空间里面应用泛函分析——比如，PDE里面非常重要的Sobolev空间，就是一个很好的应用泛函的例子，你基本可以把学过的大部分泛函的理论，在Sobolev空间里面实践一遍。