数理统计中未知参数的置信区间估计方法中，存在最佳的枢轴量吗？ 第1页

楼上回答的对了一半，也错了一半。

枢轴统计量，我通常翻译成基准统计量（pivotal statistic），意思是分布与任何未知参数无关的统计量。

比如，正态总体情况下，有：

以及：

这两个东西的分布都与未知参数无关，所以是基准统计量。

基准统计量有很多好处，首先是性质好，比如bootstrap做检验的时候一定要用基准统计量；还有就是因为基准统计量与未知参数无关，方便我们查表。

有了基准统计量之后，找到基准统计量分布的一个区间，让这个区间的概率是设定的置信水平，变换不等式就可以得到置信区间。

只不过在这里，这个区间的取法可以有很多。

在对称的情况下，比如上面的t分布，方法非常简单，比如我们要算95%的置信区间，左边右边各去2.5%，中间的区间就是95%。

到了不对称的分布，情况就有点微妙了。一般的课本上也都是按照上面的方法，左边右边各去2.5%，中间剩下的是95%，如下图所示：

然而这不是唯一的方法，比如，我们左边去1%，右边去4%可不可以？按照这个方法，中间的区间也是95%啊！

实际上也没有什么不可以，因为置信区间的定义只是要找到一个区间，这个区间包含真值的概率是95%就可以了，没有规定应该如何找这个区间。

那么那么多的区间里面，总有一个最好的吧？

首先应该定义什么是“好”。题主说的没错，置信区间越短越好。

那么怎么构造置信区间最短呢？我们无非是要找一个区间(a,b)，使得F(b)-F(a)=0.95，其中F是分布的分布函数。那么，我们的问题可以转化为一个优化问题：

使用拉格朗日：

解出来，我们得到：

因而我们得到结论：如果需要得到最短的置信区间，我们需要让密度函数相等。什么意思呢，就是我们要找这样的置信区间：

之前构造的两边各去2.5%是红色的a'、b'，现在构造的最优的置信区间应该是刚好使得密度函数相等，所以两边尾巴的概率很难说是多少了，只能说加起来是5%。

那既然这个是最优的，为啥不用呢？因为难计算啊！

特别是以前没有计算机的时候，都是靠查表来完成找这个区间的，而因为卡方分布有自由度，所以基本上都只给几个1% 2.5% 5% 95% 97.5% 99%之类的几个分位数，上面最优的方法根本查不出来！

比如，下面的代码实现了找一个自由度为5的卡方分布的最小置信区间：

       local df=5 di "传统方法下界： " invchi2(`df',0.025) di "传统方法上界： " invchi2(`df',0.975)  local error=1e10 forvalues t=1/1000{  local leftp=0.05*`t'/100  local rightp=1-(0.05-`leftp')  local ll=invchi2(`df',`leftp')  local ul=invchi2(`df',`rightp')  local new_error=abs(chi2den(`df',`ul')-chi2den(`df',`ll'))  if `new_error' <= `error' {   local error=`new_error'  }  else {   continue, break  } } di "最优方法下界： `ll'" di "最优方法上界： `ul'" di "置信区间概率：F(b)-F(a)=" chi2(`df',`ul')-chi2(`df',`ll')      

结果：

       传统方法下界： .83121161 传统方法上界： 12.832502 最优方法下界： .3318872319614707 最优方法上界： 11.23031364026668 置信区间概率：F(b)-F(a)=.95     

可以看到，新的置信区间同样保证是95%的置信区间，但是区间长度比之前小了1.1。其实收益没有那么大。

所以最佳的置信区间是存在的，仅仅是因为难算，收益小，还不如两边各去2.5%得了。