迹的几何意义是什么？ 第1页

对于自共轭矩阵 而言，迹 恰是平均曲率的 倍.

形状算子

当外围空间 ， 是可定向的光滑流形，则存在处处非零的单位法向量场 ，于是可以定义 映射：

即将 映射到与 维球面法向量相同的点.

映射的几何意义太直观了，相信不需要太多解释. 紧接着就引出了形状算子 ，它就是高斯映射 的切映射：

但实际上 与 是平行的，故将两者等同起来. 于是此时形状算子 是线性映射，那么就可以写成矩阵的形式了.

其实形状算子的定义可以更一般化，即将 浸入更高维的流形 中，但是为了方便理解其中的几何意义，故作特殊化的处理，并且它与本科阶段的微分几何中 变换可以自然衔接.

平均曲率

我们不加证明断言， 是自共轭的. 由线性代数的知识，可知存在一组标准正交基 ，形状算子 可被对角化， ，特征值 被称为主曲率，特征方向 是主方向. 于是定义平均曲率为

至于平均曲率有什么有趣的性质，我就不啰嗦了. 尤其是极小曲面更是研究的热点.

有趣的现象

还是啰嗦一下吧：陈维桓《微分几何初步》四章 3 节有一道有趣的习题：

其中 是二维曲面上与任意一个主方向夹角为 方向的主曲率.

第 4 节有一道习题：

虽然证明很简单，但是看到这两道题我还是被震撼了，平均曲率果然名副其实！

结语

也许自共轭矩阵对于一般矩阵而言，范围太窄，但是其超强的几何直观性也不失为对“迹”的一种生动的展现.

其实由一般矩阵 总可以得到对称矩阵 ，在统计中主成分分析（PCA）常用到奇异值分解（SVD），这也是解释迹的好的角度，以后有机会再补充吧！

提供一个不太一样的思路。

我觉得矩阵的trace意义难以理解，是因为我们不应该把矩阵看成某个线性空间 映到自身的线性映射，而应该看成 里面的一个元素。那么 有什么几何/物理意义？这个首先就应该考虑 是什么意义。如果我们只是把 看成一个线性空间，那么 同构于 ，我们就看不出它是什么意义。所以我们这里应该考虑表示论。例如：如果 是某个李代数 的线性表示，那么我们可以利用线性映射的transpose操作自然地定义一个 上的表示，这个表示叫做对偶表示。在一般情况下一个表示是不同构于其对偶表示的。在物理上，如果 是一个代数结构的不可约表示，那么它就代表一个基本粒子，而对偶表示 代表相应的反粒子。 是正反粒子同时存在的耦合情况。矩阵的trace搬到这个表示空间上看其实就是一个evaluation map ，这里 （我们假设 为复数域上的）为一维表示，对应的是真空态[1]。 这个 其实代表的就是就是粒子和反粒子的相互作用，也就是湮灭。

其实题主如果了解过一点multilinear algebra的话就会知道，trace操作本身就是矩阵作用和矩阵乘法的推广：线性映射作用在线性空间上的操作 ， 等价于 。这个意思就是说：线性映射作用在线性空间（态空间）上，等价于我先拿一些反粒子湮灭掉一些 里面的粒子，在同时create一些 里面的粒子。而矩阵相乘映射 ， 其实等价于映射 ，所以也可以用evaluation map，实际上也就是用trace写出来。这个映射的物理意义is left to the reader as an exercise。

取trace其实和cobordism也有点关系：如果一个可定向带边流形 的边界 有一对互相同构但方向相反的联通分支 ，那我们就能把这两个联通分支给粘起来，得到一个新的流形 。相应的，如果 的每个联通分支都赋予一个表示，其中 和 上给定的表示互为对偶（也就是互为反粒子），那么 上就有一个关联函数的线性空间，而从 上的关联函数构造 上的关联函数的方法就是取 上那对互为对偶表示的evaluation map。例如和仿射李代数相对应的情况是： 是一个cylinder，它的边界是一对方向相反的circle，那么attach之后的 就是一个torus。通过取trace构造仿射李代数表示的特征标其实就是一个从cyclinder（或者更一般的带边界的0-亏格黎曼面）上的关联函数到torus上的关联函数的过程，无怪乎仿射李代数的特征标理论和模形式有关系。而著名的monstrous moonshine conjecture的解决，也就是通过构造一个0-亏格黎曼面上的场论（moonshine VOA），使得其具有monster group作用下的对称性，同时其特征标是模形式j-invariant。

[1] 一般的，真空态对应的表示空间可以不是一维的，但是真空表示与任何一个表示的tensor——也就是说耦合——都必须是那个表示自己。当然in general我们说的tensor也不是一般意义上的tensor over field ，而是over更加复杂的东西。