复变函数中，如何说明Ln(z²)与2Lnz是否相等，Ln(根号z)与(Lnz)/2是否相等？ 第1页

初学者一般会对多值性产生困惑，题主这个是非常经典的问题。先说结论：

• 前一个未必相等
• 后一个相等（题目中的“根号”视作是多值；如果题目中的“根号”是指根号的一个分支，那么不相等）

前一个

由于 多值，所以一般把它当作集合来处理。然后集合相加定义为集合中每个数相加，集合相乘定义为集合中每个数相乘，一个数与集合相加/相乘定义为这个数与集合中每个数相加/相乘，函数作用在集合上相当于函数作用在集合的每个数，等等。

严格的定义是， （注意 是多值的辐角函数，是一个集合，这个式子是上面说的一个数与集合相加的情形）。

可以证明： ，所以似乎有如下推理：

可是，最后一个等号是错的！即事实上 。这是为什么呢？举一个例子你就知道了：

说了这么多，我相信你也应该意识到问题出在哪了。根据这个，我们就很容易构造反例了：

设 ，则

后一个

设 ，其中 ， ，则

再次提醒一下以上是把“根号”当成多值来处理。如果题目中的“根号”是指其中一个分支，那么就不再相等，其实就是上面推导过程中的两个并集会被去掉一个。