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复变函数中,如何说明Ln(z²)与2Lnz是否相等,Ln(根号z)与(Lnz)/2是否相等? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      

初学者一般会对多值性产生困惑,题主这个是非常经典的问题。先说结论:

  • 前一个未必相等
  • 后一个相等(题目中的“根号”视作是多值;如果题目中的“根号”是指根号的一个分支,那么不相等)

前一个

由于 多值,所以一般把它当作集合来处理。然后集合相加定义为集合中每个数相加,集合相乘定义为集合中每个数相乘,一个数与集合相加/相乘定义为这个数与集合中每个数相加/相乘,函数作用在集合上相当于函数作用在集合的每个数,等等。

严格的定义是, (注意 是多值的辐角函数,是一个集合,这个式子是上面说的一个数与集合相加的情形)。

可以证明: ,所以似乎有如下推理:

可是,最后一个等号是错的!即事实上 。这是为什么呢?举一个例子你就知道了:

说了这么多,我相信你也应该意识到问题出在哪了。根据这个,我们就很容易构造反例了:

设 ,则

后一个

设 ,其中 , ,则

再次提醒一下以上是把“根号”当成多值来处理。如果题目中的“根号”是指其中一个分支,那么就不再相等,其实就是上面推导过程中的两个并集会被去掉一个。




  

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