零测集的子集是否可测？ 第1页

如果你说的测度空间是 （这里 为Lebesgue测度， 为所有Lebesgue可测集组成的集合，即实变函数讨论的情形）的话，我们有：如果一个集合的Lebesgue外测度 ，那么 为Lebesgue可测的。

证明：

由外测度定义， ，其中 为所有包含 的开集。

则 为开集，包含 ，且 。

由外测度的单调性， 且

即总是存在一个开集 包含了 且使得 的外测度充分小。由定义， 为Lebesgue可测的。

但是对于一般的测度空间，这个命题不一定成立。

我们可以举出反例：

在 上（这里 为Lebesgue测度， 为实数域上的Borel域），考虑Borel域的大小。由于Borel集可以看成是 生成的 域，故Borel域和实数域是一样大的。但是考虑Cantor集，其为一个零测集且为不可数集。故所有Cantor集的子集为零测集从而为Lebesgue可测集，但是Cantor集共有 个子集。故必定存在一个Cantor集的子集 ，其不为Borel集。那么 就是一个非Borel可测的Lebesgue可测集，且在 上，有 成立，其外测度为 。

事实上，一个测度空间被称为是完全的当且仅当任意可测的零测集的子集都是可测集。实变函数中有上述结论的本质原因是 是个完全测度空间（Caratheodory定理）而 并非完全测度空间。事实上， 揭示了这两个集合系之间的关联。

关于把一个零测集的子集可能不可测的测度函数扩张为每个零测集的子集都可测的测度函数的技术可以参考以下链接：

(真够拗口的啊，这个是实变荣誉课提到的定理，在知乎上随便找了一个联接)