怎么通俗地理解张量？第1页

xi-yang-86-73 网友的相关建议:

如果一个物理量，在物体的某个位置上只是一个单值，那么就是普通的标量，比如密度。如果它在同一个位置、从不同的方向上看，有不同的值，而且这个数恰好可以用矩阵乘观察方向来算出来，就是张量，比如物体的内应力、转动惯量。

whitepillow 网友的相关建议:

讲的非常赞，思路清晰、通俗易懂。

对于不能翻墙的同学，我做个大致的内容摘要（多图）。

两点说明：

1、本人非数学物理专业出身……这方面也没深入研究过，所以一些翻译用词可能不当，欢迎批评指正~

2、可能前半部分有点啰嗦，主要是觉得视频太有爱了，不忍心删掉就都放上来了。

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Dan Fleisch是《A Student’s Guide to Vectors and Tensors》的作者，他发现很大一部分读者都有一个疑问：到底张量是TMD什么东西? (What’s a tensor? ）

于是乎就做了这个视频，用12分钟来告诉你张量是什么。

想要了解张量（Tensor），首先需要对向量（Vector）有一个清晰的了解。

在我们的课本中，向量通常都是这样一个箭头……用来表示一个既有幅度（magnitude）又有方向（direction）的物理量，比如重力、磁力或者一个粒子的速度。这个箭头的长度表示幅度，箭头的指向表示方向。

此外，向量还可以用来表示一个平面，表示方法就是让向量代表垂直于这个平面的方向（法线方向）。

这么看来，向量可以表示很多东西：表示力、速度甚至平面，不过仔细想想向量也只表示了幅度（magnitude）与方向（direction）两个要素而已。

还有很多物理量用向量是没法表示的（后面会提到），向量其实是一个更广泛的表示方法的特例。对的，你猜对了，这个更广泛的方法就是张量（Tensor）。

为了更好的解释张量是什么，有两个概念需要先搞清楚：分量 (Components) 与基向量 (Basis Vectors）。

为了搞清楚这个两个概念，我们要引入坐标系……

这里我们引入的是最常见的笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）

说道坐标系，就一定要想到坐标系的基向量（coordinate basis vector）也称作unit vector，我们用这个小箭头来表示基向量。

基向量的长度是”1”，是你用来描述长度的基础单位。

基向量的方向是你的坐标系的坐标的方向。

在这个坐标系中，在x,y,z轴方向分别有三个基向量。

现在我们有了坐标系（coordinate system）与基向量（basis vector），接下来可以确定分量（components）了。

在这个例子中，那个大箭头向量由4个x基向量，3个y基向量与0个z基向量构成。

所以我们可以用4个x，3个y，0个z来表示那个大箭头向量。

大箭头可以拿走了，现在只需要3个数字（方块，注意方块上写着数字）与3个基向量（小箭头），我们就可以完全还原出大箭头的信息了。

如果大家默认使用同一套基向量，那么基向量（小箭头）都不需要了，我们只需要4,3,0这三个数字（方块）就可以表示那个向量。

这三个数字（方块）就是向量的分量（components）。

此时，想要表示一个向量，只要给定这三个分量即可，它们怎么排列都可以，你也可以把他们立起来。

如果加上两个括号，这就是我们在书上经常看到的向量的列表示……（笑cry了有木有）

总结一下，刚才那个桌子上的大箭头可以用这3个分量（components）与3个基向量（basis vector）表示。

（插一句：请原谅到此为止都讲的内容都是高中知识……因为很有爱啊~下面即将进入正题）

推广一下，对于一个向量A来说，我们用Ax, Ay, Az来表示这三个分量，分别对应向量A在x,y,z基向量方向上的分量。

注意每个分量只有一个下标，因为每个分量只由一个基向量构成（one basis vector per component），所以向量也称为1阶张量（Tensors of rank 1）。

相应的，标量（scalar）也称为0阶张量（Tensors of rank 0），因为标量没有方向，因此也就不存在基向量，可以说标量的每个分量是由0个基向量构成的。

下面来看更高阶的张量。

这是一个在3维空间中的2阶张量。

回顾一下，向量有3个基向量与3个分量。

而现在这里有9个基向量（那些小箭头）与9个分量（那些方块）。

注意现在每个分量有两个下标（例：Axy），而不是之前的一个了。

为什么要用两个下标呢？考虑这个例子：固体物体中某点的受力情况。

想象在该物体里有一个平面，这个平面的朝向需要用一个向量来表示，为了表示该向量需要引入1组（3个）基向量；

在每个平面上又有一个力，这个力则需要用第二个向量来表示，这样对于第一组中每个基向量又引入了第2组（3个）基向量与之组合。

于是就有了桌子上的那3*3个基向量组合。

如果想要表示所有的平面与平面上的力的组合，需要9个分量，每个分量有2个下标（index）来表示该分量由哪两个基向量组合构成。

例：Axx表示在法线为x方向的平面上的方向为x方向的力。

这9个分量与9个基向量共同组成了2阶张量。

继续进一步，这是一个3维空间中的3阶张量。

这个张量有27个基向量与27个分量。

现在每个分量有3个下标，所有的下标组合共有3*3*3=27个，故共有27组基向量（见桌子上那3堆箭头方阵），不同基向量对应一个分量（那堆方块）。

现在可以做一个总结了，什么是张量以及为什么张量这么有用呢？

张量是一种表示物理量的方式，这个方式就是用基向量与分量组合表示物理量（Combination of basis vector and component）。

由于基向量可以有丰富的组合，张量可以表示非常丰富的物理量。

此外，张量所描述的物理量是不随观察者或者说参考系而变化的，当参考系变化时（其实就是基向量变化），其分量也会相应变化，最后结果就是基向量与分量的组合（也就是张量）保持不变。

考虑到张量有如此强大的表示能力，又不随观察者不同而变化，能够有效的表示宇宙间的万物，Lillian R. Lieber给了张量一个形象的称呼the fact of the universe.

keke-zhang-86 网友的相关建议:

9月21日，美国总统拜登在和英国首相约翰逊的会面中，突然毫无预兆的要求记者清场，而在那段现场的视频中，似乎有一记者问了一句：“Did he shit?”（“他是不是拉了？”）,而旁边的另一位记者回道："I have no idea，hope the microphone got it。"（“我也不知道，但愿麦克录到了。”）

这段视频流出之后，全世界的舆论场都炸了锅，人们纷纷怀疑，已经是80高龄的拜登，是否在这样严肃的场合，一个不小心，拉在了裤子里，所以才会突然要求清场，而现场的记者是闻到了味道或者听到了声音，才会有此一问。

这个看似荒谬的猜测，却意外的流传极广，以至于向来标榜言论自由的外网都开始大量封杀此类帖文，而美国官方也很快出来辟谣说清场跟总统拜登的身体情况无关，只是出于政治和外交因素，两位领导人必须密谈。

但网民们可不管这么多，美国政府越是删帖和澄清，他们就越是对拜登的“脱粪”深信不疑，传言越传越是有板有眼，之前俄罗斯总统普京的那句“祝他身体健康”也被拉出来反复分析，进一步佐证了拜登的“失禁症状”。

这个曾经代表着“战无不胜，众望所归”的超级大国和世界第一强国，居然以如此不体面的方式迎来了舆论的毁灭性打击，这让许多美国的敌人和反对者都大为诧异。

然而，冷静下来思考，我们会发现，这其中疑点颇多，因为在那段广为流传的视频中，第一位记者在提出疑似脱粪的疑问之后，另一位记者给她的回复是“我希望麦克风录了下来”，如果真的是拉裤子这种事情，被麦克风录下来的可能性实在太小，还不如说希望摄像头拍到了。

即便退一万步，认定确实是拜登没有控制住大小便，但其实他作为一个80岁的老人，出现这种情况也并不稀奇，衰老并不是罪恶，也不至于为此如此残酷的嘲笑一位老人。

因此，拜登如今的被群嘲，可以说只是美国国力衰退的一个缩影，无论拜登是否真的大小便失禁，但他作为美国总统，领导着这个衰退的美国一路火花带闪电的跌下了神坛，曾经的荣耀必然会一道一道全部化作孽力反馈回他的身上。

简而言之就是，如果美国今日没有从阿富汗撤军，新冠也已经完全被控制，那么拜登就是拉的到处都是，也依然会有人跪舔说他这就像廉颇“一饭三遗矢”，是有大将之风，可当美国撤出阿富汗，新冠病死七十万之后，哪怕他这位总统日日正襟危坐，我们也总会怀疑，他屁股底下，是不是粘着什么不雅的东西。

这，就是今日的世界，就是美国从“谁也打不过”到“谁也打不过”之后，所必须要面对的残酷现实啊。

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