范畴等价与范畴同构有什么本质上的区别？ 第1页

以下讨论比较trivial，给与我同是初学者的人来看看。

定义范畴等价的动机在于，如何更好地刻画两个范畴是“一样的”这个概念。范畴同构太强了，需要函子 与 的复合必须分别等于 与 上的恒等函子，而范畴等价只需要分别自然同构于 与 上的恒等函子。

这个条件放宽会带来什么差异呢？可以证明， 是范畴同构当且仅当：

1. full: 对任意 ， 是满射
2. faithful: 对任意 ， 是单射
3. surjective: 对任意 ，存在 使得 等于
4. injective: 如果 使得 ，则

而 是范畴等价当且仅当：

1. full: 对任意 ， 是满射
2. faithful: 对任意 ， 是单射
3. essentially surjective: 对任意 ，存在 使得 同构于

由此我们可以看到，范畴同构与范畴等价的区别完全在于后面对object的限制条件：范畴同构需要both surjective and injective，而范畴等价仅仅需要essentially surjective就好了。

这就告诉我们，假如说我们有范畴同构（当然同时也是范畴等价），如下图所示：

我们只需要在右面的范畴（蓝色）再添加一些object（下图橙色点），使得新的object同构于某些旧的object，就可使得这两个范畴不再同构，但仍然保持范畴等价，因为刚才添加新的object的这个操作仍然保持essentially surjective

换句话说，我们只需要同构地copy许多份object，就会破坏范畴同构但仍然保持范畴等价。

这也解释了为什么相比范畴同构，我们还需要范畴等价：因为我们希望允许随意地copy许多份object，反正copy过后本质上结构没有发生变化。例如其他答主举的“自然数范畴与有限维线性空间范畴等价但不同构”的例子，一个自然数其实就代表一个维数 ，而以 为维数的线性空间可不只一个，而有很多个，且彼此同构（相当于被同构地copy了很多份）。到底有多少个 维线性空间不是我们关心的。

文小刚老师居然点赞了，受宠若惊。