一个同时有内切椭圆和外接椭圆的多边形满足什么条件？ 第1页

帕斯卡定理+布列安桑定理。也就是说，若为满足条件的六边形：三对对边的交点共线；三条对角线共点。若为 n 边形，任取外椭圆上 6 个点，依然满足帕斯卡定理。这个就不赘述了。

在圆中研究

利用仿射变换的性质（将圆映为椭圆、结合性），不妨将题目中的椭圆换成正圆来研究。构造一个切于内圆、首尾接于外圆的 m 条弦序列，如下图 m=11。不失一般性，我们将外圆的中心与半径固定，只让内圆在其内变化（自变量），并观察所引起的弦变化（因变量）。易证，这一系列变化在适当的范围内是连续的，下面的动图生动地反映了这些事实。观察内圆半径递减（增）的过程：弦序列会在一些临界位置发生重合现象，形成多边形、多角星形。

n 角星的记法：例如五角星，就可以记成（5，2），意思是 5 个点围成一圈，从某点开始顺（逆）时针、与其相邻的第2个点相连，重复这一过程直至所有点被连接起来。特别地， n 边形记为（n，1）。

下面是我记录的变化次序：

寻找恰当的自变量

请原谅我暂时的跑题（也可能是永久性地跑题），因为我对上面动图中出现的 n 角星的先后次序产生了兴趣。如果我能搞清楚多边形出现的条件，也算是从某种意义上回答了问题了。

我起初是以内圆半径渐升的次序作图，不过后来我个人认为还是考虑反向会更方便分析；并且研究非同心圆的情况略复杂，尤其是在内圆迫近外圆边界的时候，有些弦长变得太短，不易辨认。为了获得一个清晰完整变化过程，最终我选择了同心圆。将星形二元数组作为坐标，形成的点图如下：

放了很多烟雾弹啊（事实上都是我走过弯路）。

按照上述分析，如果直接使用内圆的半径作为自变量，也不是不行，只是计算量很大，许多直观性可能会被埋没在复杂的表达式中。于是我选择我认为比较恰当的变量——弦序列的旋转指标 ，这个拓扑概念大家不会陌生，直观地讲，就是弦序列缠绕了几圈，大家可以拿下图练练手。

答案：

以下是 n 角星对应的弦序列旋转指标

看到什么规律了吗——

完全吻合！

证明：只需证明

容易想到 的几何意义，就是动点经过一条弦的旋转指标，那么经过 条弦后，得到的就是弦序列整体的旋转指标。

旋转指标取值的规律

最后需要说明的是上表中关于旋转指标取值为何看上去不均匀？其实他是数论意义上的“均匀”——

还记得这个点阵吧？它可以表示为

前一个括号表示坐标，后者表示求最大公约数。事实上 型星存在的充要条件是 与 互素，否则就不能遍历 个点、会在一个更小的周期内死循环。另外根据定义

如果把 这些点补充上去，就是不超过 11 所有互素对。当然推广到任意 都是成立的。

搞清楚 的取值，自然也就明白旋转指标的取值规律：

这个集合可以赋予通常的全序关系，即 。

回归题目

我以为我圆不回来了。

事实上，我们发现内外圆不是本质的，把它替换为椭圆就可以了。如何寻找满足题目的多边形，可以归结为寻找恰当的弦序列，使得其旋转指标满足题意。而弦序列又是由内椭圆上的第一个切点的位置所决定的，牵一发而动全身。

在同心圆的情况中，可以给出任意 n 边形，但是除此之外的情况呢？这是关于度量的问题：当内圆迫近外圆之前，内圆能给出的弦序列所形成的 n 边形的是否存在上界？我后面有机会给出证明。