有没有这样的函数，其一阶导等于1，二阶导等于2，三阶导等于3，n阶导等于n，n一直趋于无穷大？ 第1页

泻药

讲道理按题主文字表述，是不存在这样的函数的。即，不存在一个函数的任意阶导都是非零常数。因为如果函数的一阶导是常数，那么任意大于一阶的高阶导都是零。

题主是不是想问，“是否存在一个函数，在定义域内某一点的任意n阶导数等于n”

答案是存在的。下面就构造这样一个函数。

不妨假设 在 这点满足“任意n阶导数等于n”的性质。实际上，如果一个函数 在 点满足该性质，则只要设 ，那么 就在 这点满足该性质。因此我们的假设不失一般性。

考虑到一个求导公式

很自然地就可以想到

也就是，函数 的n阶导数等于n，但是这里的n是个定值，并不满足题目中的“任意n阶导数等于n”。那么构造这样一个函数

假设这个表达式收敛并可逐项求导，那么对 在 点求n阶导，就等于对 展开式中每一项在 点求n阶导，结果就是，x的次数不等于n的项求完导都等于零，只剩下x的次数等于n 的这一项求完导等于n，也就满足了“任意n阶导数等于n”的性质。

相信学过级数的同学一眼就能看出来

所以我们假设表达式绝对收敛是正确的。实际上，存在无穷多个满足要求的函数，他们之间只差一个常数，因此最终得到的函数是

不妨从另一个角度验证一下。回忆一下莱布尼兹公式

因此可以设 ，其中 ，代入到莱布尼兹公式，得到

好吧，评论区好多小伙伴表示这里的东西并不“自然”，也不“易得”、“显然”之类的。确实，这个解答过程绕了不少弯子。我还是给一个又简单又直观的过程吧。

如果函数 在 内可以展成泰勒级数，即

然后把 ， ， ， ， 代入得到

然后，显然（如果有人说这里还不是显然的，恕我水平有限。。）

所以

这里 可以取任意常数。