如何证明R^2上的不可数集至少在一点附近局部不可数啊？ 第1页

不妨设 是有界集。（为什么只需证有界集的情形？注意到 可以写成可数个有界集的并，所以 必然存在一个有界子集是不可数集。这里用到了可数集的可数并是可数集。）

假设命题不成立，那么每个 都联系一个 ，使得 只含 中可数多个点。我们声明：对每个 ，使得 的 至多可数。这样的话， 是可数集的可数并，也就是可数集，这样就导出矛盾了，于是就证明了原命题。

让我们看看为什么这个声明成立。假设声明不成立，即对于某个 ， 是不可数集，那当然也不是空集，所以可以取一个点 。注意， 只含 中可数多个点，所以 包含 中不可数个点，也即不是空集，所以可以取 ，即满足 （其中 表示距离）。类似地， 也是不可数集，即不是空集，所以可以取 满足 且 。这样，就构造了一列 ，使得 距离前 个点的距离都大于等于 。根据这个构造， 不可能存在收敛子列。这是因为任何子列 都满足 ，显见不会收敛。但是由于 是有界集（ 是有界集！），所以必然存在收敛子列。这就导出矛盾了。于是那个声明成立。

@蛋卷就靠卷 的证明第一句话“可以把E变成R2”感觉gap有点大。他后面的论证只能证明 使得性质成立，如何过渡到 呢？可能还需要再补充一下。