假设我扔一枚硬币，60次有55次正面朝上，我有多大把握认为这枚硬币正面和反面出现概率不相同？ 第1页

哈被我抓到两个没学好概率统计的~~（手动狗头）

@大漠孤盐 @Dylaaan

两位的回答都犯了同样的错误，就是你们算的都是条件概率

Pr(60次有55次正面朝上 | 硬币是标准硬币)

而题主想问的其实是条件概率

Pr(硬币是标准硬币 | 60次有55次正面朝上)

显然我们有贝叶斯公式：

现在关键问题变成：

1）硬币有多大的（先验）概率是不标准的？

2）如果硬币不标准，此时投出的硬币正面朝上的概率是多少？

（目前的回答里只有 @愚者 说得最切题）

正好我之前写过类似的回答，这里贴个链接：

我用了一个（伪）公理化的做法：

记 为n次抛掷有m次正面朝上时，硬币不是标准硬币的后验概率，相应地 为其先验概率，则我们认为 应当满足以下四条公理：

1）对称性：

【显然，抛出m次正面朝上和抛出m次反面朝上对于“判断硬币是否标准”来说是等价的】

2）大数定律：对于任意整数 及充分大的 ，且满足 ：

若 ，则 ，否则

【当抛掷充分多次时，如果正面次数非常接近1/2，则更确信硬币是标准的；如果非常接近另一个比例，则更确信硬币不标准】

3）贝叶斯更新一致：

若 ，则

若 ，则

若 ，则

【如果现在正面比较多，又投出一次正面会加深我对硬币不标准的判断，反之则会减轻。】

4）钟形分布

若 ，则

若 ，则

其中 表示事件“硬币不是标准硬币”， 表示n次抛掷m次正面朝上。

【当一枚硬币“有问题”时，它有小问题的概率更大，而有大问题的概率更小，也就是说一枚有问题硬币投出正面的概率本身应当是接近钟形分布的。】

此时满足全部四条公理的 并不唯一，这里给出一种比较符合直觉的解，而且这个解有两种方式可以推导出来：（具体推导参见原文）

• 加强公理3)并仿照假设Beta分布为共轭先验分布的方式指定期望值
• 加强公理4)为“硬币不是标准硬币时，抛出任意正面次数的概率相同”

这两种方式任取一种都会给出唯一的解

可以证明 满足上述所有公理，此外还有几个显然的符合直觉的性质：

i) 若 ，即未扔过时认为该硬币一定没问题，则无论扔多少次，有多少次正面朝上，仍然认为该硬币一定没问题， 。

ii) 若 ，即未扔过时认为该硬币一定有问题，则无论扔多少次，有多少次正面朝上，仍然认为该硬币一定有问题， 。

iii) 随 单调递增。

【注：i)和ii)和公理2略有冲突，可以认为公理2仅对 时成立】

于是我们可以计算出在不同的先验概率 下，如果60次有55次正面朝上，认为硬币不是标准硬币的后验概率如下图所示：

【假装这里有图】

好吧，这个实在画不出来，因为60次有55次正面朝上在标准硬币的情况下实在太不可能发生了，这个函数的结果基本上立即就顶到1去了……

即使在没有抛掷硬币时认为这枚硬币有问题的概率是0.000001（十万分之一），如果抛出60次中有55次正面朝上，那么后验概率也超过了99.97%，就是说你有99.97%以上的把握这枚硬币有问题……