突然想到一个问题：0.9999999… 真的等于 1 吗？ 第1页

谢邀。

首先，容易看出

注意上式 和 是“或者”的关系，下面只需说明 不成立.

证明: (反证法)

假设正实数

容易得到 的上、下界：

为方便说明，我们记

这是一个单调下降有下界的数列:

请注意 , 问题就出在这儿了！

依据上式，我们得到的论断是: 无论 n 取哪个正整数，a(n)都永远永远要比 大！请注意，这是关键点！事实上这是不可能的。

计算 ：

解上面不等式，有

但是，这个 n 真的会这么乖巧地小于 吗?

万一

那就有

这和事先说好的不一样啊！你不是说永远永远不可能的吗？说好的永远呢？

Q.E.D

总结：

通过证明所体现的矛盾，我们发现了一个这样的事实， 也就是 无论取什么正数都会产生矛盾，但 又绝不能取负数；既不能取正，也不能取负，所以只有 取 0 是无矛盾的, 这也满足序公理中的三歧性.

实际上，以上证明正是体现了 的精神，也就是极限的定义：

• 数列 可以比任意给定的 还要靠近其极限，

• 只要当 ，而 一定存在（想想上例中的 ，它就是 ）

我们会发现极限定义描述的是一个无限的过程，它描述的是一个变量以某种程度“贴合”另一个常量的现象，我们将这个常量称之为这个变量的极限.

那么极限是否保证 “最终”会等于它的极限 ？极限的定义并没有这么说，但是我们可以定义

这样定义是无矛盾的，就像我们在上例中的说明. 而这个定义，实际上是实数的完备化……