(全文默认所有变量大于等于0,请自行脑补 为 )
有以下几个简单事实:
令 ,我们有
所以
由于
我们有
细心的朋友可能已经发现,这个做法有一点小瑕疵,我们在求 的全微分时, 的余项在固定 ,且 趋于 时才是 的高阶无穷小, 趋于0 时不能直接忽略。
其实意思都很清楚了,为了表述严谨我们就换一种委婉的写法。
对于 , 在 的某邻域 可微,故 , , s.t.
由于
所以
这个有一定难度,关键是要想办法将分子的两项指数化后Taylor展开,这是指数展开的结果:
由此,将有
完整的解法参见
碰巧之前写过