不定积分中dx和定积分的含义是什么？ 第1页

贴上我在另一个问题下面的解释，所谓的 确实是有含义以及对应的计算法则的

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以下是原回答

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看不下去别的答案胡乱解释。虽然下面要说的这套东西几乎没什么地方会讲，因为整体的构造和lebesgue的完全类似。昨天刚刚考完analysis，我也照搬那套东西给你搞一个Riemann的结论，我想你最关心的是为什么可以应用微分的定义以及链式法则，就好像 有具体含义，恰好考试还考了Radon-Nikodym的链式法则，我也原样给你个Riemann的版本（微分形式）。简单来说，就是我的原答案：

d后面的那个东西是给你算stieltjes积分时算区间长度的，按lebesgue意义就是测度了。换元相当于应用了radon nikodym定理，在测度上就是radon nikodym导数

Riemann积分

我们先从定积分(Riemann)的讲起。最早牛顿研究运动和力的关系发现了导数(derivates)： ，那自然有个问题，给定了初始状态，如何求解最终状态。这个直观的理解就是把时间分成很小的段，然后在这些小段上面把 或者 看作是不变的，然后一段段算出变化量再加起来就行，当小段越来越小，那误差就几乎没有，因此牛顿就给出了这样的公式： 。当然那个年代还没有所谓 语言，因此在现代数学里面，我们给了如下的定义：

1. 对于区间 ，一个划分(partition)指一串数
   
2. 对于 的给定划分 ，定义其长度(mesh，norm)
   
3. 对于 的给定划分 ，定义其取样划分(tagged partition) ，其中(where) 满足
   
4. 对于取样划分 和 ，称 为 的加细(refinement)指 （ 比 划分得更细）且 （取值也对应在保持原有的基础上增加）
   

注： 一般不会特别严格地使用上述符号，例如 也可能单独指一个划分， 指其中的划分 的长度。
注2： 加细构成了一个偏序(partial order)关系

给定 是一个有界函数

1. 对于 定义Riemann和
   
2. 若下列极限(对于上述偏序中任意子线序(linear order)存在，则称 Riemann可积(integrable)
   

或者等价地 ， ,

1. 定义f的积分(integral)

上述定义一般难以使用，所以我们会引入下述等价表述

1. 定义Darboux上下和(lower and upper Darboux sums)

1. 定义Darboux上下积分

考察 ，当 的时候，对于某个 ， ，总能取细分到 ，且保持引入的点是原来的值则，对于划分后的小区间而言本来下确界 是取在更长的区间上的，现在值少了(直观理解可以考察一下图像，加细会导致下确界增大)，当然也就变大了，即 变大了，因此 ，因此我们可以得到下积分就是当小区间长趋向 时Darboux下和的极限(注意确界意味着有界和收敛数列，这里单调当然就是极限了)。上积分同理。即

从这里不难发现，函数可积当且仅当上下积分相同。上下积分利用确界定义，相较极限而言总是存在的，这给了我们一个判断函数可积的方法。

以上是通常大多数高等数学(calculus)或者数学分析(mathematical analysis)课本上定义的定积分，这中间总是强调 只是一个记号，但是所有人都知道它可以当微分来理解，这个理解是由于Radon-Nikodym定理造成的，我接下来通过Stieltjes积分来说明一下

Stieltjes积分

一样，先介绍背景(motivation)，这次考察的是概率(Probability)和期望(Expectation)。对于抛硬币而言，连续出现 次正面的概率是 ，所以连续出现 次正面构成了一个概率空间(可测空间)，当然，也可以考察这个次数的“平均值”(即期望) 。类似的，考虑如何算过马路等红灯的平均时间，假设我们红灯时间 ，绿灯时间 ，考虑一个红绿灯周期 ，先红灯再绿灯，为了计算平均等候红绿灯的时间，类似牛顿的做法，将整个区间分成 小份，每个小份上面的到达的概率都一样( )，并且等候的时间都差不多一样，于是我们让这个小份足够小，就得到了大概要等多少时间。考虑函数

反映了在 时刻到了路口等红灯的时间，则这样的一个函数就反映了“随机变量”，并且，按照上述刻画，

在这个过程中我很自然地假设我们到达路口的时间是均匀(等概率)的，但是在一般情形下，这个可能性不是均匀的。例如很多人熟悉的指数分布等。因此，我们需要刻画Riemann和中 的“可能性”大小。

设 是一函数，定义Riemann和

由此类似Riemann积分诱导出的积分称为Stieltjes积分(对应有可积)，记作

在概率论里，假设 是一个分布函数(单调、非负、负无穷出极限0，正无穷出极限1)， 是一随机变量(可测函数)，则期望就是我们熟知的

另一个常见解释则是计算面积的时候，更改了计算长度的方法，例如沿着斜线积分，本来沿着 的长度被拉伸到斜线的线段长，因此就导致了你直觉理解时候的换元。

Radon-Nikodym定理

这里只做一个简单的类比：若 则

特别的，我们把这个关系记作 。 仿照Lebesgue的故事，对于任意 ，定义特征函数(characteristic function)

显然Dirichlet函数 是一个Riemann不可积函数 但是对于一般的区间 而言， 是可积的，并且积分 ，其中 是区间长度。注意，为方便处理， 。

现在暂时忘了上述关于积分的定义，我将给定如下的Riemann积分的等价定义

定义阶梯函数(step function)如下： 假设 是有限个区间上特征函数的线性组合，则称s是一个阶梯函数，通过集合操作，我们总能将 转化成 个不相交区间上特征函数的线性组合，因此我们总假定 是两两无交的。同时，为使技术上方便处理，要求 的支集(support)： 是有界的。所以阶梯函数又经常被等价地表述为

紧接着定义s的(定)积分是

如果是关于 的Stieljtes积分( 相当于 )，则定义

按定义，阶梯函数上的积分具有线性和单调性。

对于在闭区间 上的有界函数 ，我们当然可以取 使得支集在其上，后续不在讨论这样的技术操作，定义上下积分为

称可积指 ，且定义

注： f是有界的，所以两个inf和sup均是有限的，在Lebesgue的构造里是允许在全空间上做操作的，有兴趣可以自己阅读Royden。 注2： 因此我们经常把上面的积分记为 来指定闭区间上的Riemann-Stieljes意义积分。

按照现在的这个定义方式，可以很容易证明积分是单调、线性的。类似的可以证明单调收敛定理(MCT, Monotone Convergence Theorem)，(Arzela)控制收敛定理(DCT, Dominated Convergence Theorem)和Fatou引理(Fatou's lemma)（Riemann形式的表现不是很一样，见参考7）

两种定义的联系： 由现在的定义，我们不难发现 可积当且仅当

对于Darboux和 而言，取阶梯函数 即可证明两个定义是等价的。

推论: (相对于 )可积当且仅当 是阶梯函数， ，

若上式成立，显然又有

(事实上可以推得一个更强的结论： 几乎是一个单调（适当调整）阶梯函数列的点态极限(almost everywhere with respect to lebesgue measure)) 因此我们对原来积分的一切性质均成立。

现在我们来考察换元积分的问题(闭区间 上)，最简单的情况，若 ，则

利用牛顿莱布尼茨公式(注意 已经是导数，即有原函数(antiderivative)所以不需要连续性条件就可以使用该公式)，对于阶梯函数

则

现在假设 是任意可积函数(with respect to )，假设 是积分逼近 的一串阶梯函数 ，则有

注意 ，对任何 都可以取合适的细分使得它包括了 的划分。并且由于 因此我们发现

同理有

因此

以上即是Radon-Nikodym定理的一个类比(analogy)，即当 可导(对应绝对连续, absolutely continuous)，则 integrable使得 对任意 均成立。唯一性是因为如果另外有一个 满足条件，则 。因此我们只要说明 但是这件事一般来讲较难说明，因为你只改动 的可列多(countable)的点，它仍然是可积的，并且积分不变，因此我只能给出Lebesgue意义下的相等： ，即 ，但可以认为这个相等的意义就是所有涉及积分时，用 和用 的效果是相同的，这件事已经说明了。

应用链式法则需要使用唯一性。牛顿莱布尼茨的另一形式是要求 连续，因此可以加上一个限制条件 连续，那么由导数的唯一性知连续的 是唯一的。在绝大多数求积分的情况下(包括下面的这种)，这个函数都是连续的，所以即使不懂Lebesgue的那套东西，通过附加连续条件，你也可以求得链式法则里面有一个唯一的连续函数使得它成立。不附加的时候，由于带入导数的不同最终的积分还是一样的(我暂时未想到只用Riemann的定义就可以做出来的方法，这个结论在Lebesgue构造下就是显然的了)，所以应用换元法也没有问题，计算出来的值都是准确的。

现在考虑两个Stieltjes积分，对应函数 ，导数的定义中，我们用函数值的变化量比上自变量的变化量，现在自变量的变化量由 来刻画，所以不难想象，我们可以定义“导数”如下(见引用12，其中有一个回答给出了一个反例，但是和我们这里没什么关联所以我不打算讨论):

上述的积分换元仅用到了牛顿莱布尼茨公式，所以我们只需要找到我们的类似定理就行(counterpart): 假设

存在，则

我们仅讨论一个特殊的情形，即 且 连续，则当 时(注意某一类换元的可逆要求)，应用L'Hopital法则

我们已经证明

则

此时应用类似上面的证明可以得到

如果把 写成

可以就形式上记为 ，注意，此表示唯一的意义就是

并由此诱导

不难发现这个结果恰好就是换元的情况下如何求微分。

本来我想讨论一下关于一般情形下的情况，但是没有Lebesgue测度的情况下我发现实在难以处理(我不知道对不对，毕竟我不是很擅长分析)。毕竟这些内容到了实分析的时候就以测度做讨论了，所以就不过多讨论了，实际使用的时候，这个换元已经够了。 另外我可以给出下面这个事实： 若

则

因此我们总能把它写成 ，如果你认可唯一性(a.e. [m])，那么就可以直接把这个 定义成 。此时你可以认为是换元之后，导数存在（见参考4反函数导数的内容）。我给出了 存在的一个充分条件，一般情形下的情况太特殊了，并且也超出我的理解了，这个就不多讨论了。

总结

我们可以对微分形式 做如下理解(总考虑定义在区间 上)：

并且我们也可以推得

这个就是对 的正确解释，也是换元法的最终解释。 按此定义

结合牛顿莱布尼茨公式，可以得到不定积分的换元原理，也知道了不定积分中微分的含义。

我们甚至可以引入 ( )的含义为

例如 可导的时候

因此

若令 ，即

(注意vdu和udv的含义已定义)，则

因此，按照先前讨论的 存在，则

最后讨论一下链式法则。假设 存在 则

因此在利用之前的结果 存在，且由唯一性 恰好对应导数的链式法则。这个关系被记作 ，称为微分形式不变性。 总的来说，这个关系在牛顿莱布尼茨的时代可能只是简单地用这些原则，在定义完微分等形式之后，可以进行严格证明来说明这些做法是对的，但是我们并没有给出微分形式运算的明确含义（或者说如何和积分建立起联系的），在此之前都只能说这种记法是某种定理的表示（例如换元积分、链式法则什么的），并且是对的。在建立来Stieltjes积分的意义之后这一切都迎刃而解了。这个可不仅仅是巧合，只是一般大学课程完全不教授这个运算的含义。不过类似的， 也是一套如此的形式化运算，只是那个比较好说明，Stieltjes积分相比Lebesgue积分和Radon-Nikodym导数而言已经太过时了，所以可能课程上都不提罢了。

注意，在整个过程当中，微分是由积分诱导出来的。它的意义也非常清楚，给定了一个值域上的小区间(borel set)，它的原像(preimage)对应了一个小区间(measureable set)导数反映了他们俩大小的比例，因此微分是这个关系的局部线性近似，或者说导数给了一个分布。那么这个分布的累计就是积分，这也是牛顿莱布尼茨定理的内容。

后记

对于某个数学形式，我们可以赋予它某种“哲学”解释(Boolean Algebra, Heyting Algebra, Model Theory)，但是无论怎么解释，这种“形式”总是“对的”，这就要求我们对所有“哲学”进行验证，验证其中某些诸如“微元法”“宏观微观”并不足以对“所有”哲学进行验证，因此这个理解并没有揭示出真正可以这样做的那个“哲学”。正确的理解方法只能建立在上述中牛顿莱布尼茨定理，也正是这个定理把微分学(不定积分)和积分学(Riemann积分）联系起来了。而这个定理的本质是定义导数和积分的“形式”，这部分才产生了真正可以对这件事的认知。

参考资料

上述的内容主要建立在一个Berkeley的Riemann积分的讲义(见5)上，其中所用的定义都是类似Lebesgue的构造方法。我没有引用一些教材或者论文中的定理而是简单在google上搜了一些，是因为这部分知识对于大多数数学家而言是“知道正确但是没(lan)必(de)要证明”，资料一方面很少，另外我也不想在知乎写成教科书那个样子面面俱到的，如果感兴趣的话题主可以读一下royden。大家不研究这个是因为有更好用的工具Lebesgue积分，这部分证明是非常严格的(我们现在也不用原始的Lebesgue的定义了，而是使用了Carathéodory的改造)。这个过程可能有不严谨的地方，但是我相信大部分结论至少在Lebesgue意义下是对的，并且这个给出了足够的motivation来说明为什么使用 当作记号。如果有错误请私信。

1. https:// tex.stackexchange.com/q uestions/152951/how-to-write-two-dot-above-a-letter/152954
2. Riemann积分
3. Stieltjes积分
4. 数学分析 陈纪修，於崇华，金路 （陈爷爷最后一节课是我这一届学生上的）
5. https:// math.berkeley.edu/~ilio poum/Topics_104/Riemann%20integration.pdf
6. Real and Complex Analysis Rudin
7. Real Analysis Royden
8. https:// sites.math.washington.edu /~morrow/335_15/dominated.pdf
9. https:// math.stackexchange.com/ questions/1916622/how-to-approximate-riemann-integrable-function-by-step-functions
10. https://www. researchgate.net/public ation/233658851_Monotone_Convergence_Theorem_for_the_Riemann_Integral
11. https:// math.stackexchange.com/ questions/298860/if-a-function-is-almost-everywhere-continuous-then-it-is-the-limit-of-step-funct
12. https:// mathoverflow.net/questi ons/43792/riemann-stieltjes-derivative
13. https:// en.wikipedia.org/wiki/T otal_variation