请问这道重积分的题如何做？ 第1页

这种区域的积分通常采取下列换元方法

设x＝u-uv，y＝uv-uvw，z＝uvw。

可将积分区域换为u，v，w∈［0，1］，其后利用B函数化为Γ函数易做，其他答主已经给出答案，就不在赘述。

这里再多介绍一下这种换元吧，通常来说，积分区域为xi＞0，x1+...+xn≤1（i＝1，2...n）的重积分均可由变换

x1＝y1-y1y2，x2＝y1y2-y1y2y3.....xn＝y1y2...yn

将区域变为yi∈［0，1］，然后将重积分变成n个累次积分然后易求出，唯一的难点是它的变换Jacobi行列式怎么求？直接求稍显麻烦，我们可以考虑用隐映射定理，灵感来自于一般教材上求n元球坐标时的换元行列式的方法。

注意到

x1+...+xn＝y1

x2+...xn＝y1y2

......

xn＝y1...yn

将右边移向左边，记左边为F（x，y）。

得方程F（x，y）＝0，那么应有

∂（x1，x2，...，xn）/∂（y1，...yn）的绝对值为

| detJyF/detJxF | ＝y1Λ（n-1）y2Λ（n-2）...y（n-1）

即得所需行列式

这种换元还可以用于区域为类似x≥0，y≥0，x³+y³≤1的情况，仅需令x³＝u-uv，y³＝uv即可。

本萌新重积分没学多久，也想来整点活，有错误请指出～

使用代换 ，其Jacobi行列式的值为 。这样有

。

其中 。容易看出上式可以化为三次单积分：

。

最后计算积分得到

。