无竞赛经历的大一下数院学生，想自学些知识。大家有什么推荐么(有人推荐拓扑和抽代)，最好能给出书名。？ 第1页

从别的回答上搬运过来的，个人意见。

从我个人而言，我的学习历程，目前是大一上就是数分高代，做足够的练习，尤其是多元微积分之前的。大一下，毕竟高中没有竞赛基础，还自学集合论，初等数论(现在看这方面浪费了一些时间)，大一下后半部分开始看实变函数、点集拓扑和抽象代数，后两个是对数学思想的极大锻炼，而且抽象代数、点集拓扑、微分流形才是打开现代数学大门的钥匙。这些都可以在大一下和大二上先后或分别展开。本科没那么多时间，就这么三四年，但是做基础数学需要学的太多了，上面所说的三个是最基础的，而其中抽象代数对于初学者来说难度是很大的，这个难度远高于数分高代。而学习它们几乎不需要任何基础，我自己抽象代数和点集拓扑学习了也有小半年，刚开始学也艰难缓慢，但是熬过去就发现自己对于数学的认知和周围同学已经不在一个层次上了。但这仅仅是开始，我大致罗列一下我大学四年的目标。

分析：数学分析，复分析，实分析，泛函分析。这算是大多数学校本科的基本内容，但是我觉得至少我们学校这四门课开得还是浅(至少前三门是这样的)，不过自学就行。

代数：高等代数(没必要花太多时间)，抽象代数(极其重要)，有限群的表示论，交换代数，同调代数与基本范畴，李群李代数及其表示(从抽象代数开始是个思想的大越阶，过了这个坎，后面几个相对好说了，但同调代数这里又很难。越往后越能体会到代数的巨大威力)

拓扑与几何：点集拓扑，微分流形，微分几何，代数拓扑，微分拓扑

数论：初等数论，代数数论，解析数论以及模形式(后三个都是变态难，大三准备看)

还有所谓的代数几何，这玩意儿更需要慢慢啃。

这些我不细说了，清北最一流的本科生都要熟练掌握这些的。而它们的难度和抽象程度远远超出数分高代了。

总之，你想做基础数学，还是照着这个目标努力，大一下就可以看抽象代数，点集拓扑以及微分流形了。我推荐抽象代数主要看artin的algebra，可以参考一下亨格福德gtm73或者serge lang的gtm211(建议上来就看英文书，我现在几乎不看中文书)。点集拓扑munkres足够，但部头太大，题目太多，我之前就是每一道都啃下来，现在想当时没人和我说我要学这么多，否则我一定不会在munkres那里话费这么多时间，题目跳着做就行，这个东西看一些最基本的概念足够了，等以后用到再看，点集拓扑看太多就是浪费时间了，我们没有那么多时间。微分流形，我打算寒假看Tu的流形导论，据说gtm那本光滑流形导论也可以。先这么多，咱们可以再交流，反正我看的也很少，考完试之后得快速狂学了，不能再像之前一样走弯路了。寒假我就打算看流形导论，do carmo的曲线曲面的微分，rudin的实分析与复分析，继续看gtm256交换代数导引，继续看hatchar的代数拓扑以及serre的有限群的线性表示。不求全看完，但是要把最主要最关键的思想技巧弄清楚，不断提高观点。要知道这些观点只是做科研的基础的基础。数学真就深不可测。