大一数学系学生先学高数是否会有助于学习数学分析？数学分析入门很难该如何应对？ 第1页

美国或者英国对于Calculus和Analysis的分类的界限还是很明显的.

比如说Manifold上的Calculus，或者又如Ahlfors在其Complex Analysis中提到的Calculus，

因为你想，分析学一开始是没有严谨的基础的，像Euler那种数学家在那个时代靠不严谨的

方法做出了很多结论，所以说那种，偏重于技巧，代数变形，一般会比较特殊化的那种

函数论，序列，级数的处理的方法论，可以视作为Calculus，也就是微积分.

而现代近100年，对于分析课程是有阉割化的倾向的，分析严格化后，其变成

更像是拓扑和代数的一个子学科，但是分析学实际上是更偏重于方法论的学科，

所以说，并不能说Analysis是Calculus的完全升级版，也不能说，一个偏重证明，

一个偏重计算，而是，Analysis在现代的学科系统上的含义，更偏重于拓扑和代数的

本体论含义，而Calculus更偏重于方法论，当然这个分类也是不严谨的，只是说作为低年级

课程来表述一下这个区别.

但是在现代数学的学科分类上，Analysis和Calculus是一个前者包含后者的概念，这个和我们

讨论的这个东西是不同的.

Richard Rusczyk和我的观点一样，也就是说，数学方法论和严肃数学的学习其实是应该分离的，

因为现在的数学教育，严肃数学的学习和研究过程中，融入的方法论（观察，分析，摸索，推理，

构造的解题方法导致的技术，技巧的创作）是随着课程难度逐步加深，但是依旧是很低的一个水平，不断地阻挠低水平的学习者的阅读效率，我举个例子，一个数学家可以完全避开IMO难题水平的解题技术水平而做好数学研究，通过参考他人文献的方法来回避方法论，但是这不是说数学方法论就不重要，因为许多关键性技术依旧必须是存在有人去完成的，像Grigory Perelman就是属于两者兼具者.而一个好的数学竞赛参赛者，因为数学方法论和严肃数学的目前的偏离已经很大，他甚至也可能存在完成不了最低限度的严肃数学的学习.

数学方法论在数学研究中的贯彻是始终的，而不是说作为某种学科的具体体现，例如说，从表面上来说，以前几年IMO涉及的初等代数不等式的证明似乎是毫无意义的，在严肃数学上是毫无意义的，但是其在方法论上涉及的放缩，恒等变形，结构观察却比许多偏向于初等估计的现代分析学科更为纯粹和有难度，从方法论上来说，对于学生的训练是最有意义的，而不是说，这个初等代数不等式，不是被应用数学和计算数学的野鸡分支都能轻松彻底处理掉了吗 这种观点是基于对数学研究对象是本体论的角度而言，并非是方法论的角度来看.

因此，学习高数，学习数学分析，应该是两回事，现在学生，往往是两个极端，一方面过于注重数学的思想性，把研究数学等同于阅读大量数学文献，follow他人idea，这是不完全对的，即使是Yau老板也说了，要重视做题，解难题，也就是技术原创能力，因为思想性这个东西是比较cheap，而解难题才会了解前人的技术性难点，真正技术性虽然现在做一些trivial工作是可以回避的，但是培养一个数学家，不应该是这么考虑的， 或者，一方面过于注重数学的技术性，那么数学就变成了一个智力游戏，不了解数学技术来自于数学理论，那么就很难贯彻好数学技术.

实际上只有最好的中学生（如IMO金牌，或者，IMO的第三档的难题有80%都能解决）才不需要在数学方法论上进行进一步的训练，他们可以直接进行语言层面的数学学习（如Rudin的数学分析原理），以最快速度来过渡到前沿数学的研究.

我会举一个很好的例子来进一步说明严肃数学学习和数学方法论的严重分离，我在读高级中学时，认识有已经学习完复分析和代数（抽象代数），并且完成对应的课后习题的人，但是当时他在参加AIME程度的考试都严重失利， 而进一步的学习让我知道， 严肃数学学习遇到的难度主要不是技术性的， 因为就现在来看， 如果抛却理解和知识性的观点， 严肃数学学习中出现的习题的难度在纯技术的原创性上来说，应该是远低于AIME程度的初等数学竞赛的.

微积分，实际上包含了技术性训练的很重要的内容，在解题文化积累的训练材料中，分析学的问题更偏向于微积分（数值序列，数值级数，以构造或代数变形解决的积分不等式或一元微分学问题），学习高数并不会有助于学习数学分析，但是纯粹从教育学的角度来说，如果把高数的学习等同于一个技术的专门集训，那么在数学的整体的学习上是有益的，但是从内容上，和数学分析是无关的，至少是在课程的内容上，而不是从数学分支的角度来看.