大佬请帮我理解一下这个有关dx的正规数学表达？ 第1页

这个定义基本上就是将我们期待一个微分所应该具有的性质形式化的结果。

我们期待微分具有什么性质？1. 它应该是局部的，即在点 处的微分只能依赖于 的一个“无穷小邻域”；2. 它应该对应到一个运算，即对每个光滑函数 ，我们都可以取它的微分 .

描述一个空间的无穷小邻域是困难的，但是我们可以利用这个空间上的函数来描述这种邻域：对一个给定的点 ，当我们取的邻域越小，这个邻域上定义的光滑函数便越多，并且我们可以认为两个在 的一个更小的邻域上取值一致的光滑函数是一样的：因为它们在 的一个“无穷小”邻域上是一样的。这样我们就得到了一个商集：

这个就是函数芽，它只跟 的一个“无穷小邻域”有关，而跟 附近的其它点都无关. 而对微分，我们期待以下事实：我们知道对每个光滑函数 ，我们有 在 附近的线性化 ，并且我们认为当 的时候有 . 用上面的函数芽语言，我们假设 （根据定义，任何一个在 附近有定义的函数都可以对应到函数芽里面的某个元素），则 作为一个常值函数也是 里的一个元素，从而 . 注意到如果我们令 ，那么我们有 ，从而 . 如果令 ，我们知道对一个函数 求微分应该得到 ，因而如果 ，我们期待得到的微分是 ，所以我们需要考虑的空间是 ，即不考虑这个函数的高阶导数带来的影响. 这个集合就是函数的微分的集合，而 就是 在这个集合里面对应的等价类.

这个定义跟图片里面的定义有什么关系呢？如果我们令 是经过点 的所有道路的等价类（即这里面我们仍然考虑“局部”道路：一个道路就是一个光滑函数 满足 ，并且我们认为两个道路如果在 的一个邻域内相同，那么它们是同一条道路），则我们可以考虑复合函数 . 这个函数满足 ，并且在 处的导数是 . 注意到不论 为什么道路，如果 ，我们都有 ，即" 零化了道路 “. 由于存在使得 的道路，我们知道 当且仅当 . 因此商去 跟商去 我们得到的是一样的集合.

虽然我也是助教，但是我教的微积分课上从来没有学生问过我这个问题，所以我也不知道这样能不能写清楚。