怎么用拓扑结构来刻画实数集？ 第1页

谢邀。这个问题还是很有意思的。首先，只用分离性肯定是不够的，因为所有的度量空间都有很好的分离性。所以，要想去刻画R，就不得不用其它的拓扑性质。我们抛开基本群，同调群这些高端的代数拓扑工具，只考虑点集拓扑中诸如紧性，连通性，可数性，分离性这些基本的拓扑性质，就发现，这些性质甚至都还不能将R与R^2，R^3，这些高维的欧几里得空间区分开来。不过我们确实有办法来区分它们，因为R删除一个点后就不连通了，而R^2，R^3，……这些删除一个点后还是连通的。当然两条相交直线这种删除一个点也是不连通的，所以得更细致的考虑了，R删除任意一点后都正好两个连通分支，而两相交直线删除交点的话就是四个连通分支。那么，删除任意一点后都有两个连通分支，再加上其它R具有的基本拓扑性质，是否就可以了呢？仔细想想还真想不出反例了。所以，就是这样了。

去查了下文献，就发现了下面这篇论文，Ward, A. J.;The Topological Characterisation of an Open Linear Interval.Proc. London Math. Soc. (2)41 (1936), no. 3, 191–198.

里面证明了：如果X是一个拓扑空间满足(1) 连通，(2)局部连通，(3)正则，(4)可分，(5)删除任意一点后都正好有两个连通分支，那么X同胚于R. 好了，这就算是对题主问题的回答吧.

其实，这种结构性的定理都是属于数学上的极具美学特征的定理。除了R以外，R^2,R^3这些高维的版本，我想还是得用代数拓扑工具才能说的清吧，额，还有庞加莱猜想这类刻画各种维度下的球面的高端大气上档次的东西。

如果只是考虑R的一些常见子集，同样的也有一些重要的定理，都冠着那些如雷贯耳的名字，这些就只用点集拓扑就的那些基本的拓扑性质就可以刻画，比如:

1，(Brouwer)没有孤立点，第二可数，完全不连通的非空紧致Hausdorff空间都同胚于康托集。

2， (Alexandrov-Urysohn) 没有孤立点，完全不连通，所有紧集都没内点，可完备度量化的可分空间都同胚于无理数集（也就是可数无穷个自然数集的笛卡尔积N^N，乘积拓扑，称为B aire空间。）

3，(Sierpiriski, Frechet) 没有孤立点的可数，第一可数，非空正则空间都同胚于有理数集Q .