如何证明在平面内，连接多边形内一点与多边形外一点的线段必与多边形的边有交点？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
设多边形 内部一个点 ，外部一点 ，做变换
这样一来，多边形变成了一个以原点为圆心的单位圆。
变换 满足：
- 若 ，则 ；若 ，则 .
- ，即将 映射到原点。
关于这个证明我以前刚好回答过： https://www.zhihu.com/question/370749736/answer/1007725617
所以问题最后就转换为，圆心和圆外一点 的连线，必然和圆 有交点 ，那么一定会有原像集 ，即为所求。
可以直接联立方程
另外注意隐藏的条件：
其中 是平面向量。最后很容易解得：
于是 ，证毕。
当然了，这个问题还是不得不提及Jordan闭曲线定理，没有它，曲线的「内」与「外」无从谈起。（在评论区有网友提醒我，我也觉得还是要捎带说一下答案更完整。）另外， 可以是更一般的区域，而不仅仅是多边形，但是我尊重题主的问题，所以就继承其说法。
至于Jordan闭曲线定理的证明，一般来说各种教材就直接略过了，因为真的很繁琐。我以前在邓冠铁老师的《复变函数论》看过当 是多边形时的证明，恰好可以用在这里。用代数拓扑的方法证明很简单，但是需要铺垫的知识很多，就看姜伯驹老师的书就行了。
1
相关话题
矩阵最小多项式的几何意义是什么?为什么这个闭合曲线在参数趋于2.087065……时趋近于圆？
如何看待卡西·曼夫妇发现的可无缝密铺平面的五边形？
如何用变分法证明圆是同等周长下，面积最大的平面图形？
如何用简单的方法证明「在周长一定时，圆的面积最大」？
任意给一闭合光滑平面曲线，该曲线每个点都受一个法向的相等的力。那么该曲线所受的合外力是否为零？
如何衡量一个平面内不规则封闭曲线「趋近圆形」的程度？
请教拓扑排序中的一点疑问？
可微函数在几何上有何特征？
我站在一个直径无限大的圆边，怎么知道我在圆内还是圆外？
相关的话题
过两给定的点平分圆面积的最短曲线是什么？割圆术就算割了∞次，它和真实面积也相差很小一部分，怎么就说它就可以等于真实面积？
中国普通民众的拓扑学知识是怎样的水平？
拓扑学在物理研究中有哪些具体应用？
什么是勾股定理？
如何只使用折叠的方法十等分一个线段或者绳子？
如何证明下面关于一维开集的问题？
有哪些用偏几何的方法来得到代数问题的优美解答的例子？
如何学习点集拓扑学？
平面几何用代数法解几何的原理是什么？
向量奔驰定理有哪些证明?
数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答？
点集拓扑为什么要这样定义？具有几何意义吗？
三根表针，两两互为 120° 是几点？
对于给定的椭圆，如何求椭圆上各点到中心的平均距离？
直线可不可以看做是半径无限大的圆？
有没有比较浅显的拓扑学在数学分支中应用的例子？
我好像证明了四色猜想，各位怎么看？
如何证明这个关于良序集的命题？
怎么证明圆锥曲线的光学特性？
半径为 2 的圆，其周长和面积相等吗？
为什么2sinα×cos2α=sin2α×cos2α？
为什么算数不等式叫算数不等式，几何不等式叫几何不等式?
一个拓扑流形的不同微分结构是否一定给出在拓扑上同胚的切丛？
为什么经济学专业要学拓扑学？
除了 3，4，5 以外是否还有别的三角形，它的三条边是连续自然数，它的面积也是自然数？
很好奇，如何证明行列式就是高维多边形体积？
为什么该图形红蓝面积相等?
直角三角形内知道两个锐角的角平分线长度，怎么求斜边？
怎样理解“单点紧化”？