如何证明在平面内，连接多边形内一点与多边形外一点的线段必与多边形的边有交点？ 第1页
1
liu-yang-zhou-23 网友的相关建议:
设多边形 内部一个点 ，外部一点 ，做变换
这样一来，多边形变成了一个以原点为圆心的单位圆。
变换 满足：
- 若 ，则 ；若 ，则 .
- ，即将 映射到原点。
关于这个证明我以前刚好回答过： https://www.zhihu.com/question/370749736/answer/1007725617
所以问题最后就转换为，圆心和圆外一点 的连线，必然和圆 有交点 ，那么一定会有原像集 ，即为所求。
可以直接联立方程
另外注意隐藏的条件：
其中 是平面向量。最后很容易解得：
于是 ，证毕。
当然了，这个问题还是不得不提及Jordan闭曲线定理，没有它，曲线的「内」与「外」无从谈起。（在评论区有网友提醒我，我也觉得还是要捎带说一下答案更完整。）另外， 可以是更一般的区域，而不仅仅是多边形，但是我尊重题主的问题，所以就继承其说法。
至于Jordan闭曲线定理的证明，一般来说各种教材就直接略过了，因为真的很繁琐。我以前在邓冠铁老师的《复变函数论》看过当 是多边形时的证明，恰好可以用在这里。用代数拓扑的方法证明很简单，但是需要铺垫的知识很多，就看姜伯驹老师的书就行了。
1
相关话题
f(x)[x是向量]满足什么性质的时候才能使得f(x)＝c的一边是f(x)＞c，另一边是f(x)<c？给定曲率下界，平面上什么曲线所围面积最大？
请问一条满足: 法向量和法向量二阶导数平行的空间曲线是什么曲线？
是否所有简单闭曲线都同胚与圆周？
曲率处处不为零的闭曲线只能是闭凸曲线吗？
基础数学的非线性泛函分析研究什么？
研究尺规作图时发现一个猜想不知是否可以完全解决？
本人高二理科生，欲修拓扑学，求推荐入门书籍。？
为什么欧几里得在《几何原本》中的第四公设要设定所有的直角都相等？
怎样求空间中直线绕轴旋转的方程？
相关的话题
世界上有东西的长度正好是 1 吗？北京国际数学研究中心教授谢俊逸和袁新意解决几何 Bogomolov 猜想难题，如何理解这一工作？
为什么要用乘法计算面积？
如何入门 Yamabe 问题？
正方体的体对角线垂直吗？
球面如何均布49个点？
topology 为什么被译为「拓扑」？
为何要引入同伦群，同伦群可以解决什么问题？
数学系课程中，《解析几何》到底有什么用？
逃离丧尸包围的游戏，你能否逃生？
怎么证明：拓扑学家的曲线连通但不道路连通？
《现代数学基础丛书》的封面图有什么数学背景？
为什么三点决定一个圆，而圆规只需两点就决定了一个圆？
曲率公式是怎么推导的？
f(x)[x是向量]满足什么性质的时候才能使得f(x)＝c的一边是f(x)＞c，另一边是f(x)<c？
如何以AB为高尺规作图作等边三角形？
这题怎么写，急？
点集拓扑为什么要这样定义？具有几何意义吗？
如何评价一线大厂资深 APP 性能优化系列之异步优化与拓扑排序？
所有正方形的数量与所有长方形的数量相等吗？
我想知道克莱因瓶到底能不能装满水？
对于数学分析、微分方程、复变、代数学、拓扑学等数学课程你都见过哪些很有自己一派风格而不落俗套的教材?
如果有人想走遍中国所有的省级行政区（含港澳台），总路程最小可以是多长？
如何学习点集拓扑学？
一个同时有内切椭圆和外接椭圆的多边形满足什么条件？
共有几个三角形？
数学中，类似 π、e 的独立的常数还有哪些？
数学中为什么要定义各种空间？
微博里的27个三角形是怎么数出来的？
为什么2sinα×cos2α=sin2α×cos2α？