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怎么证明:拓扑学家的曲线连通但不道路连通? 第1页

  

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令 ,其中

显然均道路连通,故连通。所以若 不连通,则 是它的两个连通分支,因此 既开又闭(在子空间拓扑下).

但这是不可能的,因为 的任何一个开圆盘内都包含 中的点,所以 是 的聚点,与 是闭集矛盾。

因此 是连通的。

若 道路连通,那么存在一条连接 与 的道路,设为

由介值性,存在 使得 ,于是 ;再由介值性知存在 使得 ;依次类推可得有界递减序列 ,它存在极限 ,但是

振荡,矛盾。




  

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