对于所有的无穷小，能否把它们趋于0的速度定义为一个数，使得趋于0速度较小的一定是较低阶的无穷小？ 第1页

只能尝试去探讨，这相当于给全体无穷小赋予一个全序的判别（简单的）指标。

定义无穷小和定义无穷大是一回事，只要取倒数就可以相互转化，所以下面我们只讨论无穷大的比较。

定义指标

幂函数指数是一个天然的指标。借用这个思路，我们定义：设无穷大

若以下极限存在

于是定义其为无穷大指标，无穷小指标记为

例

显然，对于 ，代入上式，我们得到 ，这是我们想要的。再举一个例子， ，

指数增长的指标

那么，指数类型的函数呢？

这个指标失效。我们加强一下这个指标：

那么，将 代入

同理，可以定义 ，不再赘述了。

性质 对低阶无穷大算高阶的指标为 .

证：假设 存在，则

利用等价无穷小替换或者两边夹原则可得.

对数增长的指标

若存在有限极限，则定义

我们前面的例子看到， ，不过

同理，

若存在常数 使得上面存在有限极限，则

例 考虑函数

因为

所以

汇总

于是，无穷大可以对应一个序列（如果存在的话），

然后按照字典排序法，比较其大小：指标越大优先级越高。

例

容易计算

所以指标 ， 表示

写得不严谨，但是基本思路还是很平凡的……当然，这个指标也不是万能的，一切的定义都是基于极限存在。