Weierstrass 逼近定理对任意的完备正交系成立吗？ 第1页

其实仔细看一下三角多项式的正交逼近和L2逼近就会发现，这两个其实完全是两码事。比如说，如果在 上 ，那么L2意义下的逼近是部分和 ，这实际上是L2意义下的最佳逼近，但是一般不是对连续函数的一致逼近，真的需要一致逼近的话我们需要考虑其他的线性组合，比如Cesaro平均。甚至这个部分和都未必是逐点收敛到f的。

因此，如果按照原问题，如果我们有一列完备正交系 ，那么要看一致逼近的话，一定不能考虑 ，而要去考虑 上的逼近，这个时候是不是正交其实不重要。所以这么想这个问题就没啥意思了……

但是还是回答一下吧，顺便科普一下Stone-Weierstrass逼近定理：

设X是紧Hausdorff空间，A是X上实函数的子代数，那么A在一致范数下稠密当且仅当A分离X中的点（任意x,y存在A中的f使得f(x)不等于f(y)）并且在每个点上非零（任意x存在A中f使得f(x)非零）。

因此，如果要看一个 是不是稠密的，一般分离点、非零是容易验证的，只需要看这是不是一个代数就够了，也就是对乘法封闭。比如三角函数张成的确实是代数，勒让德多项式也没问题，其他的恐怕未必，自己验证吧。