百科问答小站 logo
百科问答小站 font logo



Weierstrass 逼近定理对任意的完备正交系成立吗? 第1页

  

user avatar    网友的相关建议: 
      

其实仔细看一下三角多项式的正交逼近和L2逼近就会发现,这两个其实完全是两码事。比如说,如果在 上 ,那么L2意义下的逼近是部分和 ,这实际上是L2意义下的最佳逼近,但是一般不是对连续函数的一致逼近,真的需要一致逼近的话我们需要考虑其他的线性组合,比如Cesaro平均。甚至这个部分和都未必是逐点收敛到f的。

因此,如果按照原问题,如果我们有一列完备正交系 ,那么要看一致逼近的话,一定不能考虑 ,而要去考虑 上的逼近,这个时候是不是正交其实不重要。所以这么想这个问题就没啥意思了……

但是还是回答一下吧,顺便科普一下Stone-Weierstrass逼近定理:

设X是紧Hausdorff空间,A是X上实函数的子代数,那么A在一致范数下稠密当且仅当A分离X中的点(任意x,y存在A中的f使得f(x)不等于f(y))并且在每个点上非零(任意x存在A中f使得f(x)非零)。

因此,如果要看一个 是不是稠密的,一般分离点、非零是容易验证的,只需要看这是不是一个代数就够了,也就是对乘法封闭。比如三角函数张成的确实是代数,勒让德多项式也没问题,其他的恐怕未必,自己验证吧。




  

相关话题

  为什么数学里非要写「当且仅当」,而不是「仅当」? 
  能否通过列举一些代数式、方程加以分析、说明,直观解释阿贝尔定理(Abel–Ruffini th.)? 
  为什么数学定义一般采用如下形式:X has property P, if(条件),而不是 iff? 
  为什么规定 0 的阶乘为 1? 
  数学系的你,喜欢数学还是讨厌数学,还是毫无感觉? 
  卓里奇的《数学分析》怎么样? 
  这道求极限的题怎么做? 
  「只有」和「有且只有」的区别是什么? 
  这道数列极限题怎么解 涉及到排列组合 不会啊? 
  极坐标下的二重积分,二次积分下每次积分的几何意义是什么? 

前一个讨论
文学、艺术评论里所说的「张力」指什么?
下一个讨论
INTP为什么大部分都是“性冷淡”?





© 2025-04-03 - tinynew.org. All Rights Reserved.
© 2025-04-03 - tinynew.org. 保留所有权利