如何理解希尔伯特空间？ 第1页

各种高大上的解释上面大佬都回答了，我个学渣就讲些简明不严谨的。

希尔伯特空间是指完备正交的线性空间，可以是无穷维，也可以是有限维。而日常三维可以称为三维完备正交线性空间。是不是很像？

要明白希尔伯特空间，先从数学物理角度的维度说起。所谓维度，不单单指空间维度和时间，其最基本的概念叫做，描述一个状态的坐标数。因为是正交的，所以是独立坐标数。（正交下文再提）在空间中，描述一个东西的位置状态，需要三个独立坐标，所以有空间三维。如果要描述物体的运动状态，除了空间三维，还需要它在三个空间方向的动量坐标，即共6个独立坐标，构成了一个六维空间，物理上称之为相空间（对，就是你力学书上那个！）。希尔伯特空间就是由若干个（可以是任意数量）独立坐标构成的抽象空间。量子力学里，就是本征矢构成的。

同样用三维空间类比，为了描述三维，我们设定了xyz三个坐标构成一个坐标系，单位坐标是1，这些都是中学物理的内容。在数学上，我们称xyz的单位坐标为基矢量，通过对这三个基矢量的平移，我们能获得一个完整的三维空间。可以说，空间（线性的）都是由基矢量的平移构成的。

希尔伯特空间也不例外，但特别的是，希尔伯特空间的基矢不是定长的，各个基矢的大小不一定是一样的。它的基矢可以是函数！数学上，函数是可以作为广义坐标的，为什么我也不知道，分析数学没学好。。。

综上，希尔伯特空间就是由若干个函数作为独立坐标构成的抽象空间。

最后说说比较细节的东西，一个是正交完备，一个是线性。

所谓正交，很好理解，就是三维中的垂直。我们可以说，直角坐标系构成的空间是一个正交空间，因为xyz三个坐标基矢量相互垂直/正交。当然，没有人能想象高维空间的垂直，改称为正交，其更本质的含义是相互独立。类比于日常三维，就是当一个矢量在x轴方向上延长，它在yz轴上的坐标可以是不发生变化的，相互间互不影响。相互独立可以用内积是否为0判断，在二维三维里，内积就是矢量乘法，中学里学过，相互垂直的矢量，矢积为0。

然后是完备，完备就是说这个空间没有洞，也就是我们所要描述的这类状态的所有可能值都被这个空间包含了。如果这个空间有洞，那洞里的那个状态，我们就不能描述了。日常三维就是个完备的空间。想象一下，我们愉快的生活在一张纸上的世界，以我们2维的视角，这个世界是完备的，所有东西的位置都是可描述的。某一天，一个不可描述的大能拿它沾了口水的手指在纸上戳了个洞。这个洞对我们而言就变成了未知。可能你的小芳本来在洞的那个位置，在那瞬间，emmmm。。。你的小芳不见了，你甚至不知道她在哪里，就像她突然消失了。

最后讲讲线性。1+1=2，这就是线性。线性就是指不同的量之间满足加法规则（减法也行，减法是加法的逆运算）。日常三维是线性的，因为如果你往东先走5m，再走5m，总共走了5+5=10m。绝大部分人能接触到的空间概念，都是线性的，日常三维可以称为三维完备正交线性空间。（所以理工科都要学线性代数，都是泪啊）

PS:我也是学量子才明白啥叫希尔伯特空间的，所以，多做题多想想，多掉头发，你就明白了

看来问主是一个感性很强的人。

从感性层面理解希尔伯特空间，可以去看看黑衣人1结尾的那个外星人打弹珠的小段子。视角快速地从地球上升到太阳系，银河系，室女星团，本宇宙，玻璃珠，一堆玻璃珠，玩弹珠的外星人，一层层的包含关系。

差不多就是这个感觉，希尔伯特空间就是那个外星人所在的世界，初高中教科书上面的XYZ坐标系，应该算是地球那个层级的空间吧。

理性层面的理解，可以按照国学、家庭和牛顿物理三道菜来讲述，看问主喜欢哪个口味的。

但是本质都是一样的：用来描述某种关系（规律）的好点子或者好架构，而这些个好点子或者好架构都来自于一个相同的微观形态：正交和可转换。

国学

首当其冲的自然是太极图和周易，太极图描绘的是一个整体的两个有机组成，白与黑；周易把太极这个黑与白的微观关系连环使用，又往下打开了6层，也即2³*2³=64，然后用这64个符号来表示农业生产规律，或者叫周期，类似24节气的那种规律。

这里太极的阴和阳，可以理解为最简单的正交关系，XY轴；但是有个问题，阴和阳算下来只有两个状态，只能用来表示对与错这样简单的东西，不够用；于是人们就太极生两仪，两仪分四象，四象裂八方，八方成一斤（十六两），一斤填六合（6*6=36），六合演周易，这样就有足够的数来表示状态了，可用于描述相对复杂的东西。

家庭

其实家庭这个菜，答主比较喜欢，因为它比国学那道菜更加有意思。比如：

首先，问主的诞生离不开一个男人和一个女人；

其次，问主的性别只能在男人，女人，男上加男，女中有女，不男不女，这几种状态中去选择一个；

再者，问主与女娲，盘古之间，按照血统，至少有两条血缘线和一个汇聚点连接在一起，问主是终点，女娲和盘古是始点；（如果真是两条线与一个节点，问主就大发了。呵呵）

还有，问主有父母，有祖辈，有曾祖，直到女娲盘古，定义清晰，回溯有源，无可遗漏；

上面的谱系关系，比较清晰的呈现了血缘的关系，是一种关系学说。这里的男女就是太极里面的阴阳，也是一对正交量；同时它们限制了后代的性别，提供有限的选择；另外，它能描述时间跨度很大的关系。

牛顿物理

牛顿是个牛人，以及同时代的莱布尼茨，他们发现了微积分的玄妙，而微积分的最大特征就是用正交量把研究对象切成无限小，然后把它们再组成大尺寸，有点像把一块石头先分成最小的粒子，然后再按照人们方便的方法再组成石头，这样人们就可以更好的了解石头的性质或者说它身上的各种关系。这种把数学语言和逻辑用于物理研究的方法也正式落定。

国学，家庭和牛顿物理三道菜，其实也有一定的关系：

国学⇔连续时间中的一个完整周期（一个生产周期），符号对应（一个生产周期中的各个节气节点）

家庭⇔没有明确的时间连续要求（分代，上一代产生下一代），无法准确预测下一代的关键特征（性别只能在几种有限可能性中选择一个），完整的描述关系（从最开始的祖先到当下的后代均能清晰定义。）

牛顿物理⇔用数学来描述对象，对象可以是国学，可以是家庭，发现这把千能钥匙很好用，后面的科学家延续他的方法，把千能钥匙变成了万能钥匙。

问主可能会接着问，那为什么一定要用正交来表达，以及为什么一定要进行转换呢？

作为一名编外民科，答主能告诉问主：

正交的效率高，开销小。正交具有不变性，然后通过不变性来描述可变性。

转换呢，其实我们的世界就是一个充满各种关系的世界，而这些关系是通过转换才能被认识。比如要知道温度几何，我们只能用温度计，而温度计也是用液体或者固体对温度的反映来转换，并用数字的转换告诉我们数值。

上面的经验是数百年来，科学家总结出来的方法论，至于这个方法论里面的要点，是否有时间上的强制依赖顺序，比如先要有理论A才会出现它后面的理论B，实际历史上没有强制这样的因果关系，而是科学家发现某个理论更加完善，就会进行替换，用更完善的理论替换掉之前老的理论。比如希尔伯特空间比爱因斯坦的广义相对论要发布的早，但是在相对论出来后，这个空间被发现价值原来如此之大。比如牛顿空间可以描述地球与太阳系的一些关系，爱因斯坦空间可以描述牛顿空间以及更宏观的宇宙，希尔伯特空间更进一步，（估计）可以用于描述前面那个玻璃球甚至那一堆玻璃球。

ps：下面这个科普高赞公众号，个人觉得比较适合普通人看，当然还有其他不错的科普，后面有缘就来更新上来。