各种高大上的解释上面大佬都回答了,我个学渣就讲些简明不严谨的。
希尔伯特空间是指完备正交的线性空间,可以是无穷维,也可以是有限维。而日常三维可以称为三维完备正交线性空间。是不是很像?
要明白希尔伯特空间,先从数学物理角度的维度说起。所谓维度,不单单指空间维度和时间,其最基本的概念叫做,描述一个状态的坐标数。因为是正交的,所以是独立坐标数。(正交下文再提)在空间中,描述一个东西的位置状态,需要三个独立坐标,所以有空间三维。如果要描述物体的运动状态,除了空间三维,还需要它在三个空间方向的动量坐标,即共6个独立坐标,构成了一个六维空间,物理上称之为相空间(对,就是你力学书上那个!)。希尔伯特空间就是由若干个(可以是任意数量)独立坐标构成的抽象空间。量子力学里,就是本征矢构成的。
同样用三维空间类比,为了描述三维,我们设定了xyz三个坐标构成一个坐标系,单位坐标是1,这些都是中学物理的内容。在数学上,我们称xyz的单位坐标为基矢量,通过对这三个基矢量的平移,我们能获得一个完整的三维空间。可以说,空间(线性的)都是由基矢量的平移构成的。
希尔伯特空间也不例外,但特别的是,希尔伯特空间的基矢不是定长的,各个基矢的大小不一定是一样的。它的基矢可以是函数!数学上,函数是可以作为广义坐标的,为什么我也不知道,分析数学没学好。。。
综上,希尔伯特空间就是由若干个函数作为独立坐标构成的抽象空间。
最后说说比较细节的东西,一个是正交完备,一个是线性。
所谓正交,很好理解,就是三维中的垂直。我们可以说,直角坐标系构成的空间是一个正交空间,因为xyz三个坐标基矢量相互垂直/正交。当然,没有人能想象高维空间的垂直,改称为正交,其更本质的含义是相互独立。类比于日常三维,就是当一个矢量在x轴方向上延长,它在yz轴上的坐标可以是不发生变化的,相互间互不影响。相互独立可以用内积是否为0判断,在二维三维里,内积就是矢量乘法,中学里学过,相互垂直的矢量,矢积为0。
然后是完备,完备就是说这个空间没有洞,也就是我们所要描述的这类状态的所有可能值都被这个空间包含了。如果这个空间有洞,那洞里的那个状态,我们就不能描述了。日常三维就是个完备的空间。想象一下,我们愉快的生活在一张纸上的世界,以我们2维的视角,这个世界是完备的,所有东西的位置都是可描述的。某一天,一个不可描述的大能拿它沾了口水的手指在纸上戳了个洞。这个洞对我们而言就变成了未知。可能你的小芳本来在洞的那个位置,在那瞬间,emmmm。。。你的小芳不见了,你甚至不知道她在哪里,就像她突然消失了。
最后讲讲线性。1+1=2,这就是线性。线性就是指不同的量之间满足加法规则(减法也行,减法是加法的逆运算)。日常三维是线性的,因为如果你往东先走5m,再走5m,总共走了5+5=10m。绝大部分人能接触到的空间概念,都是线性的,日常三维可以称为三维完备正交线性空间。(所以理工科都要学线性代数,都是泪啊)
PS:我也是学量子才明白啥叫希尔伯特空间的,所以,多做题多想想,多掉头发,你就明白了
看来问主是一个感性很强的人。
从感性层面理解希尔伯特空间,可以去看看黑衣人1结尾的那个外星人打弹珠的小段子。视角快速地从地球上升到太阳系,银河系,室女星团,本宇宙,玻璃珠,一堆玻璃珠,玩弹珠的外星人,一层层的包含关系。
差不多就是这个感觉,希尔伯特空间就是那个外星人所在的世界,初高中教科书上面的XYZ坐标系,应该算是地球那个层级的空间吧。
理性层面的理解,可以按照国学、家庭和牛顿物理三道菜来讲述,看问主喜欢哪个口味的。
但是本质都是一样的:用来描述某种关系(规律)的好点子或者好架构,而这些个好点子或者好架构都来自于一个相同的微观形态:正交和可转换。
国学
首当其冲的自然是太极图和周易,太极图描绘的是一个整体的两个有机组成,白与黑;周易把太极这个黑与白的微观关系连环使用,又往下打开了6层,也即2³*2³=64,然后用这64个符号来表示农业生产规律,或者叫周期,类似24节气的那种规律。
这里太极的阴和阳,可以理解为最简单的正交关系,XY轴;但是有个问题,阴和阳算下来只有两个状态,只能用来表示对与错这样简单的东西,不够用;于是人们就太极生两仪,两仪分四象,四象裂八方,八方成一斤(十六两),一斤填六合(6*6=36),六合演周易,这样就有足够的数来表示状态了,可用于描述相对复杂的东西。
家庭
其实家庭这个菜,答主比较喜欢,因为它比国学那道菜更加有意思。比如:
首先,问主的诞生离不开一个男人和一个女人;
其次,问主的性别只能在男人,女人,男上加男,女中有女,不男不女,这几种状态中去选择一个;
再者,问主与女娲,盘古之间,按照血统,至少有两条血缘线和一个汇聚点连接在一起,问主是终点,女娲和盘古是始点;(如果真是两条线与一个节点,问主就大发了。呵呵)
还有,问主有父母,有祖辈,有曾祖,直到女娲盘古,定义清晰,回溯有源,无可遗漏;
上面的谱系关系,比较清晰的呈现了血缘的关系,是一种关系学说。这里的男女就是太极里面的阴阳,也是一对正交量;同时它们限制了后代的性别,提供有限的选择;另外,它能描述时间跨度很大的关系。
牛顿物理
牛顿是个牛人,以及同时代的莱布尼茨,他们发现了微积分的玄妙,而微积分的最大特征就是用正交量把研究对象切成无限小,然后把它们再组成大尺寸,有点像把一块石头先分成最小的粒子,然后再按照人们方便的方法再组成石头,这样人们就可以更好的了解石头的性质或者说它身上的各种关系。这种把数学语言和逻辑用于物理研究的方法也正式落定。
国学,家庭和牛顿物理三道菜,其实也有一定的关系:
国学⇔连续时间中的一个完整周期(一个生产周期),符号对应(一个生产周期中的各个节气节点)
家庭⇔没有明确的时间连续要求(分代,上一代产生下一代),无法准确预测下一代的关键特征(性别只能在几种有限可能性中选择一个),完整的描述关系(从最开始的祖先到当下的后代均能清晰定义。)
牛顿物理⇔用数学来描述对象,对象可以是国学,可以是家庭,发现这把千能钥匙很好用,后面的科学家延续他的方法,把千能钥匙变成了万能钥匙。
问主可能会接着问,那为什么一定要用正交来表达,以及为什么一定要进行转换呢?
作为一名编外民科,答主能告诉问主:
正交的效率高,开销小。正交具有不变性,然后通过不变性来描述可变性。
转换呢,其实我们的世界就是一个充满各种关系的世界,而这些关系是通过转换才能被认识。比如要知道温度几何,我们只能用温度计,而温度计也是用液体或者固体对温度的反映来转换,并用数字的转换告诉我们数值。
上面的经验是数百年来,科学家总结出来的方法论,至于这个方法论里面的要点,是否有时间上的强制依赖顺序,比如先要有理论A才会出现它后面的理论B,实际历史上没有强制这样的因果关系,而是科学家发现某个理论更加完善,就会进行替换,用更完善的理论替换掉之前老的理论。比如希尔伯特空间比爱因斯坦的广义相对论要发布的早,但是在相对论出来后,这个空间被发现价值原来如此之大。比如牛顿空间可以描述地球与太阳系的一些关系,爱因斯坦空间可以描述牛顿空间以及更宏观的宇宙,希尔伯特空间更进一步,(估计)可以用于描述前面那个玻璃球甚至那一堆玻璃球。
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