有什么数学定理一般人都觉得是常识，但严谨证明起来却挺费力的？ 第1页

这个世界上存不存在一个可以解决任何数学题的机器呢？我猜大部分人应该直觉上认为是没有的，如此强大的机器恐怕只有科幻小说里才敢写。但事实上数学和理论计算机科学之中的一个已经被证否的重要问题就与这有关。

大卫·希尔伯特（David Hilbert）在1928年提出的Entscheidungsproblem（德语，翻译为英文为decision problem，中文为可判定性问题），内容是：是否存在一个算法，给定任意一个逻辑表达式，都可以判断该表达式的真假。举个例子，判断 是否为假（大家应该都看得出来这是啥）。这个算法只用判断真假，不需要给出证明或反例，但注意算法必须是有限步骤的，枚举显然是不行的。

我相信大部分人看到这个问题的第一反应都是“不存在”，毕竟如果有这样的好事，那各种未解决的数学问题就全都解决了，还要数学家干什么呢？但事实上想要证否这一问题是十分困难的。其中一个难点在于“算法”在当时是一个比较模糊的概念，要证明这一问题就需要为“算法”这一概念建立一个数学模型。1936年，24岁的艾伦·图灵（Alan Turing）和阿隆佐·邱奇（Alonzo Church）分别独立解决了这一问题，其中图灵的证明更为有名，也提出了图灵机（Turing machine）这一在计算机科学之中至关重要的概念；而邱奇用lambda演算（lambda calculus）的证明被称为“邱奇定理”（Church's theorem）。邱奇-图灵论题（Church-Turing thesis）也从此诞生，说明了“任何在算法上可计算的问题同样可由图灵机计算”。

所以大家不要期待未来会有什么机器人帮你做数学题了，好好学数学吧！

代数基本定理：任何一元复多项式在中都有至少一个根.

这个证明太高深，我本人并看不懂，就就就搬运一下好了= =

只需要证明任意在中有解即可.令 是 的分裂域, 显然 , 且 是 和 的Galois扩张. 以下证明 , 从而完成证明.
令 , 为它的Sylow 2-子群, 也即

对任意 , 由于 是奇的, 的不可约多项式 也是奇次的. 于是 在 中有解, 从而它只能是一次的. 于是 且 . 这表明 .
令 , 则 (显然 ). 若 , 由Sylow第一定理知 有一个 阶的子群 ; 它对应一个 的二阶扩张 . 熟知任何域的二阶扩张由该域的一个平方根生成, 而对任何 它的两个平方根 和 均在 中, 导致矛盾. 于是 , 故 .

文章来源：

再补一个证明，选自包志强《点集拓扑和代数拓扑引论》

我们 将 理解成欧式平面 ，每个复数 理解成平面上的点

假设多项式 没有复根，则可以定义连续映射

任取

因此可以定义伦移

注意到 是常值映射，而

这就说明

另一方面，任取 ,当 时

而当 时

因此也可以定义伦移

注意到 ,而

这就说明 ，矛盾，说明 一定有复根.