在学生时期独立地探索出自己的数学发现，是什么体验？ 第1页

说起来，高中自己瞎捣鼓的发现比较多，不过大多是物理上的。现在印象最深的就是对化学平衡常数的证明了。

化学平衡常数指的是，对于如下这样在一定容器里的q种气态物质转化为p种气态物质的可逆反应：

在一定温度下达到化学平衡时，其平衡常数表达式为：

上课时候，老师说这是经验公式。但这玩意怎么看也不像经验公式，我感觉是能证出来的。所以趁着一天中秋假期，就把这玩意给证明了出来。还顺便给出了反应常数 与温度之间的关系。当时的推导过程如下（纸已经很烂了，这里传上来就当做一个纪念，防止以后丢了）

当初就蛮激动的，一上学就拿给化学老师看，她说她看不懂这些，比较高中化学也接触不到热力学，后来化学老师说要拿给她一个大学里的朋友看看 。不过后来这事也没有下文了，我那时也不知道这个对不对。

当时有道化学题目，题目里给出了不同温度下的各种反应物浓度和反应焓变。结果我把数据带入进去，一拟合，发现结果差不多，但有点小偏差。

至于后来我是怎么发现我有点小错误的呢……因为我高三闲的没事自学热力学与统计物理的时候，看到了化学势那一章有用化学势证明这个化学平衡常数，并给出了几乎一模一样的公式……没记错的话就是最后那个 （等体积摩尔热容），书上写的是 （等压摩尔热容）。

不过后来上大学之后离化学越来越远，现在几乎都忘得差不多了。

TLDR：独立发现了素数定理的新证明方法。

问题背景

现有的素数定理证明基本上可以归类成两种：用了复分析的解析方法和不涉及复分析的初等方法。素数定理的最初形式（也是更加广为人知的版本）是由初等函数构成的等价无穷大：

素数定理（Legendre、Gauss）：当x趋于正无穷时，有

π(x)表示≤x的素数个数，log在数论中用来指代自然对数

但从二十世纪开始，素数定理的形式就变成了基于对数积分+误差项的形式。1896年de la Vallée Poussin给出了最初的带余项素数定理：

素数定理（de la Vallée Poussin）：存在c>0使得

其中对数积分的定义为

我论文所提出的新方法就可以直接应用于证明这个形式的素数定理。

对现有方法的吐槽

素数定理虽然最初在1896年由Hadamard和de la Vallée Poussin独立给出证明，但早在1850年代切比雪夫（Chebyshev）就已经开始研究素数分布了。虽然切比雪夫本人并没有证明素数定理，但他通过研究以下两个带权重的素数计数函数得到了素数分布问题中许多基本的结论：

这也导致后续许多素数定理的命题都从 为起始点然后再通过分部求和法来将 的渐近性质移植到π(x)。然而这种证明的路数导致20世纪以来大多数（初等与非初等的）素数定理证明都以切比雪夫函数为起始点。因此我就开始思考到底为什么不直接对标准素数计数函数π(x)处理呢？

Dirichlet级数与围道积分法

由于以Newman为代表的基于Tauber型定理的素数定理证明没法给出强有力的余项，所以带余项的素数定理基本上都是由反演公式推导出来的：

这种方法的技术细节详见我的文章^[1]

因此我也想着对素数计数函数进行这样的反演，所以我就考虑π(x)对应的Dirichlet级数：

然而这个级数本身的性质不太完美，所以我把视角转到了黎曼素数计数函数J(x)上（论文定理1）：

之所以这样做是因为J(x)对应的Dirichlet级数可以和zeta函数建立联系：

因此套用Perron公式我就得到了如下结论（论文定理2）：

再利用zeta函数非平凡零点分布的结论，我通过构造长方形围道把上述公式变成了：

留数积分的处理

然后我猜测前人之所以没有选择这条路估计是因为化简出来的被积函数包含对数奇点。因此被这个问题卡住的我也去MSE上开了个问题：

然而最初得到的解答思路的拼凑痕迹很严重，所以我决定跑去看看黎曼1859年发表的著名论文（黎曼本人没有证明素数定理，只是不严谨地给出了渐近公式）。

于是我就把黎曼本人的方法做了一些整理，导出了一种用来处理这种对数极点的办法。本质上这种技巧运用了含参积分法的思想：

对两侧求导，就有：

于是乎通过重新积分，就有：

最困难的主项处理完毕后我们就可以去看看余项了。通过传统的分析技巧，我们就能整理出素数定理：

新方法？！

后来我把自己的方法贴到MSE后就得到了解析数论大佬reuns的回复：

于是我就去网上查了查，发现没有文献使用过这种方法来证明素数定理（黎曼本人没有去证素数定理）。然后我就在接下来一个星期里进行了大规模的文献查找，甚至还在知乎上提了个问题以防万一：

当然几位答主给出的文献所用方法均与我不同，所以我在接下来的一个星期里把上面的思路整理成了论文。

后续

为了防止出现“如有雷同纯属巧合”的情况，完成论文撰写后我就开始投稿了。然后就被录用了：

论文的预印本已放在arXiv：

小插曲

在投期刊前我的论文已经挂在arXiv的math.NT上了。所以还能收到一些其他读者的反馈：

这也促使我在投期刊前还能对论文的结果进行继续修缮：

一些感受

这篇论文从产生点子到完成撰写一共也就只有一个星期，但这一个星期爆发的背后是我在这个领域里将近一年（本回答的发布日期正好是《读懂黎曼猜想》系列的开坑一周年）的学习。估计纯数的工作者也是在经过多年的积累后才会有极小的概率下爆发出创新的火花。

7月12日更新：本月17日我将在10th International Conference on Pure and Applied Mathematics做这个研究的报告，之后我会把录制好的版本上传到知乎来。

另外也挺想认识另外几位同一天做报告的高中朋友！

12月12日更新：本项目荣获2021年丘成桐中学科学奖数学科目的铜奖。

参考

1. ^带余项的Perron公式 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/355438064

在小学和初中阅读了有关阿基米德“穷竭法”的说明以后拿这个推导了一大堆书上没有的几何体的体积，