陶哲轩做完一张考研数学卷子一般需要多久？ 第1页

把刚刚翻译的一篇乌斯宾斯基院士考柯尔莫哥洛夫大师研究生的文章搬过来，来呈现：这位数学家年富力强的时候，考研也要费力气准备，当然，也看考的内容是什么。

乌斯宾斯基院士的研究领域是计算理论(著名的Kolmogorov-Uspensky machine)、数学基础、数理逻辑、数学语言学等，他也是一位杰出的科普作家，如The Apology of Mathematics、 Seven reflections on the themes of philosophy of mathematics等。

作者考的内容：

大学毕业后， 柯尔莫哥洛夫邀请我去听他的研究生课程。 1952年夏天，我和父母一起住在Savyolovskaya铁路支线旅游站附近Shukolovo村的房子里，准备入学考试，并于7月6日、8月3日和 8 月 15 日3次去了科马罗夫卡（注：柯尔莫戈洛夫的乡间小屋在那里）。

第二次访问时，柯尔莫哥洛夫递给我一份列宁格勒数学家沙宁（N A Shanin） 为杂志Uspekhi Mathematical Sciences 49期撰写的“论算术的一些逻辑问题”的大量手稿，并让我表达我对此的看法。这是我第一次知悉这么多人（似乎包括沙宁本人和他的老师 A. A. Markov）使用“狂热建构主义”一词。这篇文章的令人发指的建构主义落在了我毫无准备的头脑 - 真的是毫无准备！尽管我读过上面提到的1925 年柯尔莫哥洛夫数理逻辑的文章。事实上，柯尔莫哥洛夫 的这篇文章尽管是从直觉主义的立场写的，但风格温和，仿佛邀请读者思考。

沙宁的文章是单刀直入的。我写这些更多是为了解释，而不是为我的评论过于严厉找理由，我首先给柯尔莫哥洛夫口头报告（在我 8 月 15 日访问科马罗夫卡期间），然后交给了他书面形式。同时，在我看来，我们之间达成了共识，即我写的纯粹是内部沟通用的，而绝不想让作者看到。尽管如此，我写的文章确实到了沙宁手里。一个大学生学来并与他讨论——一位物理数学科学博士，这一事实刺痛了他（尽管他获得了最传统的，完全“非建构主义”的集合论拓扑博士）。我必须说，沙宁举止高贵。我们跟他并无私交，一天他找到了我，带我去了一家咖啡馆。我感到很尴尬。我们解释了自己的想法，在我看来，沙宁已原谅了我。

……

1952 年 9 月 5 日，我参加了数学系研究生院的入学考试——柯尔莫哥洛夫和索伯列夫是考官。在那些问题中，我碰到了一个关于偏导数中变量替换的例子，对这个替换中我感到困惑。 或者我可以预见，索博列夫会是考官！此外，正是因为相同考题，研二的弗里德里希·卡佩列维奇（后来成为著名的数学家和工信部的系主任）和我在吉米多维奇 (Boris Pavlovich Demidovich) 的“数学分析”测试得了两分，吉米多维奇在我们小组中指导了这些练习——并且刚刚讨论过，因为前一天晚上，直到深夜，我们一直在Svetlana小舍的窗户下徘徊。

然而，在入学考试我获得了五分（注：满分），并在1952年10月15日~1955年15月15日期间在“数学逻辑”专业被柯尔莫哥洛夫院士录取。令我惊讶的是，我并不孤单：我有一位同事，导师相同，专业相同，学期相同——梅德韦杰夫（ Yuri Tikhonovich Medvedev），他刚从沃罗涅日大学毕业，我以前不认识。梅德韦杰夫和我都是数学科学史系的正式研究生，但我们的导师却是概率论系主任柯尔莫哥洛夫。

莫大研究生候选人最低限度的安排方式与现在完全不同。现在，基本的考核是一个或多或少狭窄的数学专业的考试——正是研究生所选的专业。那时还没有这样的考试，人们认为，即使没有考试，研究生也应该在适当的水平上熟知他的专业，因为他正在做——或者，无论如何，应该做。 （在我看来，柯尔莫哥洛夫总体上认为，参加研究生考试的学生应该暂时成为世界上关于该考试主题的首要专家——对自己的论文方向也应如此！）

研究生要从他的导师那里领取需要通过的考试清单。当我去找柯尔莫哥洛夫问道我要考的内容时，他非常认真地对待这个问题。思索之后，他指定了高等代数。内容取自范德瓦尔登的两卷书《近世代数》，我记得那门考试是我一生中最难的考试之一，在科尔莫哥洛夫的公寓里接受了柯尔莫哥洛夫和库罗什（A.G. Kurosh，抽象代数专家）的考察...

第二次考试，我的导师指定了数学物理方程：根据希尔伯特、柯朗的《数学物理方法》和索伯列夫的《数学物理方程》。我必须说，这两门考试的科目，尤其是第二门，都与我自己的数学兴趣相去甚远。科尔莫哥洛夫当然明白这一点，但他想让我成为一个训练良好的人。因此，在谈到数学物理方程时，他补充说：“请用数值方法。反正你应该懂数理逻辑。”显然，我的表情传达出了一些东西，因为柯尔莫哥洛夫同情地宣布他将指定一些接近逻辑的内容作为第三次考试。不久前出版的 MA Gavrilov 所著的继电器触点电路理论被选中。这本书属于技术类型，而不是数学，我很难读懂它。花了两个月我都没理解三极管是如何工作的——这本书从继电器触点的物理基础开始。直到最后，我弄明白了，我才发现根本就没有必要去理解它。

除了一门外语、哲学（当然是马克思列宁主义）和三门数学考试之外，还应该作另外三份报告。作为其中一项，我受命将 Rozha Peter 1951 年在布达佩斯用德文出版的《递归函数》（世界上第一本关于这个主题的书）翻译成俄文。我不敢告诉柯尔莫哥洛夫我不懂德语。幸运的是，Roza Peter 是匈牙利人，她的德语并不难。此外，书中还有许多公式。这一切都促成我顺利通过了这份报告。该书的俄文译本于 1954 年由外国文学出版社出版。柯尔莫哥洛夫为此版本写了一篇精彩的序言，其中首次发表了以下现已众所周知的想法：证明不可判定的可枚举集的存在性，从一个并不总是可定义的可计算函数的存在出发，该函数不能扩展到另一个可计算的、处处可定义的函数。

原文链接：宋维凯HEOM：浩瀚的心灵：我记忆中的柯尔莫哥洛夫老师（15）—— 考研。