如何证明实数域是最大的有序阿基米德域？（这是“完备性”的本质吗）？ 第1页

我没有理解为什么楼上的证法要绕原路，可能只是我没理解，但是我觉得简单的证法是这样的：

反设有 ，那么 根据阿基米德性可知非空有上界，于是不妨设上确界为 ，那么无论 或是 ，二者之间都没有另一个实数，于是 对任意 成立（加法不等式），反之 对任意 成立，这与阿基米德性矛盾。

至于所有极大的阿基米德序域是否彼此同构。假设一个阿基米德域 不完备，那么存在一个集合， 对某个 成立而 没有下确界，那么 构成了非空下有界集合。

规定 中的序满足 当且仅当对于任意 总存在 使得 对所有 成立，但是， 的含义是：
.

由有理数的稠密性和多项式的连续性，我们知道上述定义是良好的，具体地说：

假设 ，那么存在 ，对任意 ，存在 ，满足 但是 .

我们假设 ，那么
特别地，当 时存在某个 使得 .

不妨假设 .于是，当 时，有 构成柯西网，这说明存在一个 ，当 时恒有 ，于是 对所有 成立，这也就证明了 .

用类似的方法，也可以借助乘法和加法的连续性证明 构成序域，因此 不具有极大性。综上，所有极大阿基米德序域都是完备的，彼此同构。

各位去看令奈的回答吧，比我更简洁的证明了极大性，还把最大性这证明了。我的回答太菜了QAQ

https://www. zhihu.com/answer/156712 2993

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题目描述里，提到的命题“ 的任意域扩张，如果还是阿基米德域，那么这个扩展就是 本身”，把这个性质叫做 “ 是最大的阿基米德域”不太合适。更合适的说法是“ 是极大的阿基米德域”。

以上这个命题感觉算得上是trivial的，还是写一下证明吧。

考虑 的域扩张 是一个阿基米德域。

我们来证明 。

，我们来证明 。

由于 是阿基米德域，存在 ，使得 。

考虑集列 ，由于 是阿基米德域， 非空。由于 ， 有下确界。

我们设 ， ，立即得 。

注意到对任意 和 。

。

记 为上取整函数。注意到对任意 和 。

。

这意味着对任意 ，成立 。

而 。

由闭区间套定理知，存在唯一的实数 ，使得对任意 ， 。

记 为 上的绝对值函数，即 。

设 ，如果 ，则 。

考虑 ，由 是阿基米德域知存在 ，使得 ，从而 。

令 ，则由 知，

。

矛盾！

终上所述， 是极大的阿基米德域。