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「克莱因瓶」是什么,如何借助「克莱因瓶」来理解四维空间? 第1页

  

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原始定义

简单地说,就是将一个正方形盘面:

  • 上下边同向等同;
  • 左右边反向等同。

这就是一个克莱因瓶 。

所谓同向、反向等同:

当你沿着正方形左边从上往下走,等同于你沿着正方形右边从下往上走。也就是说,左边和右边是交叉对应的——

如果你在玩贪吃蛇,但是地图是一个克莱因瓶,就会出现下面的情况——


形象描述

既然等同,为什么不把等同的地方干脆粘在一起呢?当我们把正方形上下边粘起来,我们得到了一个有限的圆柱面,然后左右边此时变成了两个圆圈,但是这两个圆圈不能直接粘起来:

如果是如下情况则不然:

想象左右两只手的虎口握住圆柱边缘,四指的方向与图中红色箭头同向,那么两手虎口扭转相向,虎口刚好吻合。但是,回到原来的情形,此时我们看到两个箭头刚好相反,没办法直接粘合在一起。事实上,这在三维空间是没办法做到的,除非我们允许圆柱自己穿过自己——

然后把开口粘合住,就得到通常我们看到克莱因瓶的形象。

正方形两对边先粘贴哪一对结果都一样,那如果先粘贴左右边呢?就会得到大名鼎鼎的莫比乌斯环 ——将正方形(这个时候还是用长纸条做更好)其中一端扭半圈,然后再和令一段粘合(这个时候两端的箭头一致)。

克莱因瓶中找莫比乌斯环这不是一件很好想象的事情——

另外不得不提一下克莱因瓶的不可定向性。通过上面的分析,我们知道这其实源自于莫比乌斯环的特性:在环上竖立一个朝上的小箭头,当它绕行环带一周后回到原来的位置,此时小箭头却向下!只有再绕一周之后,它才向上!这换成球面、环面都是不可能发生的事情。

我们知道莫比乌斯环只有一个面,于是这导致由它构造的克莱因瓶也是没有内外之分,只有一个面。而对于球面等闭合曲面而言,它们会将空间分割,造成内外之别。这当中蕴含着维数的奥秘。

四维空间

四维空间第四维在哪里?这个只能凭借想象力了。四维空间的确可以完成很多不可思议的事情,而在三维空间是无能为力的。就比如三维空间的密室杀人案件,在三维空间是不可能犯罪,但是对于能够穿梭于四维空间的凶手而言——不用穿过密室的天花板、地板和墙壁,而是从第四个维度去接近被害人,这不是难事,就好像我们看待画地为牢的蚂蚁一样。因为在高维空间看来,我们的三维密室并不能把高维空间完全分割为里面和外面。

所以,克莱因瓶在四维空间可以不必穿过自己,而是把自交的部位朝第四个维度抬高,这样自交的部分就消除了,而圆柱扭曲的那一端可以直接出现在圆柱空心处,然后完成和另一端口的粘合。




  

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