「克莱因瓶」是什么，如何借助「克莱因瓶」来理解四维空间？ 第1页

原始定义

简单地说，就是将一个正方形盘面：

• 上下边同向等同；
• 左右边反向等同。

这就是一个克莱因瓶 。

所谓同向、反向等同：

当你沿着正方形左边从上往下走，等同于你沿着正方形右边从下往上走。也就是说，左边和右边是交叉对应的——

如果你在玩贪吃蛇，但是地图是一个克莱因瓶，就会出现下面的情况——

形象描述

既然等同，为什么不把等同的地方干脆粘在一起呢？当我们把正方形上下边粘起来，我们得到了一个有限的圆柱面，然后左右边此时变成了两个圆圈，但是这两个圆圈不能直接粘起来：

如果是如下情况则不然：

想象左右两只手的虎口握住圆柱边缘，四指的方向与图中红色箭头同向，那么两手虎口扭转相向，虎口刚好吻合。但是，回到原来的情形，此时我们看到两个箭头刚好相反，没办法直接粘合在一起。事实上，这在三维空间是没办法做到的，除非我们允许圆柱自己穿过自己——

然后把开口粘合住，就得到通常我们看到克莱因瓶的形象。

正方形两对边先粘贴哪一对结果都一样，那如果先粘贴左右边呢？就会得到大名鼎鼎的莫比乌斯环 ——将正方形（这个时候还是用长纸条做更好）其中一端扭半圈，然后再和令一段粘合（这个时候两端的箭头一致）。

克莱因瓶中找莫比乌斯环这不是一件很好想象的事情——

另外不得不提一下克莱因瓶的不可定向性。通过上面的分析，我们知道这其实源自于莫比乌斯环的特性：在环上竖立一个朝上的小箭头，当它绕行环带一周后回到原来的位置，此时小箭头却向下！只有再绕一周之后，它才向上！这换成球面、环面都是不可能发生的事情。

我们知道莫比乌斯环只有一个面，于是这导致由它构造的克莱因瓶也是没有内外之分，只有一个面。而对于球面等闭合曲面而言，它们会将空间分割，造成内外之别。这当中蕴含着维数的奥秘。

四维空间

四维空间第四维在哪里？这个只能凭借想象力了。四维空间的确可以完成很多不可思议的事情，而在三维空间是无能为力的。就比如三维空间的密室杀人案件，在三维空间是不可能犯罪，但是对于能够穿梭于四维空间的凶手而言——不用穿过密室的天花板、地板和墙壁，而是从第四个维度去接近被害人，这不是难事，就好像我们看待画地为牢的蚂蚁一样。因为在高维空间看来，我们的三维密室并不能把高维空间完全分割为里面和外面。

所以，克莱因瓶在四维空间可以不必穿过自己，而是把自交的部位朝第四个维度抬高，这样自交的部分就消除了，而圆柱扭曲的那一端可以直接出现在圆柱空心处，然后完成和另一端口的粘合。