哪些线性代数（指一般意义上的本科一年级的课程）的难题可以用李群李代数的知识简便、优雅地做出来？ 第1页
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alex-70-22-31 网友的相关建议:
舉一些例子吧。
題一：證明正交矩陣總是可對角化。
證明：正交矩陣是緊緻李群（ ）的元素。選取 的最大環面群為對角矩陣所組成的群。已知任何緊緻李群的元素都共軛於其最大環面的元素，所以正交矩陣總是可對角化。
題二：令 ， 。已知
。
證明存在可逆的實 階矩陣 ，使得 均為上三角矩陣。
證明：用李括號可將以上條件寫成
。
所以 其實是李代數。利用Jacobi identity可知
。
設 。代入 及題目的條件，可知 。所以 其實是可解李代數。根據Lie's Theorem， 的元素可以同時上三角化（simultaneously upper triangularizable）。
至於題目一年級的解法，有空再寫吧。
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