平面上AB为两个给定的凸形，A任意角度初始摆放均可仅通过平移被固定位置的B覆盖，A能否在B中任意转动? 第1页

如果严格根据问题要求，仅通过有限次旋转，那么有如下的反例：

考虑平面上的正三角形 （），将 向 轴负方向移动，同时将 沿 向 移动，使得 旋转一个小角度过程中扫过的区域 （如下图，仅示意， 的轨迹是一条曲线）：

由于 是区域 在 方向上的唯一宽度， 中初始角度的正三角形只可能放置在 的初始位置。此时关于任意定点的任意非零角度旋转都会使其超出区域 的范围。

如果将任意转动理解成“连续的刚体变换”，那么答案是肯定的，下面是严格的定义。对于 中的紧集 和凸紧集 ，定义 为所有 ，满足：当 的质心在点 并关于 按 旋转时完全包含在 中。题目的条件即为对任意 ， 非空。求证 连通。

证明只需要注意到两点：（1） 是闭集（从而是紧集），因为对于 中任何收敛点列，对应的 保距地收敛到一个 的复制，而 是紧的所以这个复制也在 里；（2） 是凸集（从而是连通的），因为 是凸的，其中两个 的平移复制一定可以沿直线平移过去。剩下的部分就是基础的点集拓扑，留作习题。

以上证明不要求 是凸集，甚至不要求 连通。这也容易理解，因为 的凸包和 在这里是等效的。