如何证明 sinsin…sinx 极限为 0？ 第1页
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zhai-sen-8 网友的相关建议:
@半个冯博士 与 @灵境 都给出了正确且符合题主要求的答案，他们已经解决了题主的问题，可先行参阅他们的回答（他们的想法非常简单，就是迭代一次就可以落到 附近的一个区间，而在那个区间内 是单调的，所以可以用单调收敛定理证明存在性。极限值就是那个不动点）。
【附】感谢 @法国球 提醒。第一个回答我搞错了。不能用压缩映射定理(Banach fixed-point theorem)解决，因为 。
【附】按照 @foxell 的说法，关于 的情形有如下处理方法（请移步他的回答）。firmly nonexpansive operator的定义是：
容易验证 确实是firmly nonexpansive的，而根据凸分析不动点理论的一个定理，如果firmly nonexpansive operator确实有一个不动点，那么迭代 会收敛于不动点。这是利用不动点定理解决该问题的正确方法。
下面是错误的回答。
这里就贴数值分析上对于不动点迭代问题常用的一个定理作为补充吧（虽然不符合题主的要求）。
定理 压缩映射定理
设 在 内连续且满足：
①压缩性
②映内性
则存在唯一的 使 ，且对于任何初值 ，都有由 确定的数列 收敛于
这个定理证明事实上相当简单，虽然“只能用定义和单调有界收敛定理”证不了，但再多使用个介值定理就很容易了。
这个定理是处理诸如题主这种问题的通法。本题中只需取 ， （虽然 未必落在这个范围，但 一定落在这个范围，可见是不要紧的）， （可以由拉格朗日中值定理确定出这个常数 ）
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