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是否存在f: [0,1]→R+, 使得f在[0,1]的黎曼积分为0? 第1页

  

user avatar   zhai-sen-8 网友的相关建议: 
      

你自己不都快做出来了。。。

令 。假设 在 Riemann可积,则一定Lebesgue可积,故 是Lebesgue可测函数,故 是Lebesgue可测集。按照你说的(2),每个 (这里我顺便补充一下原因,倘若 ,则 ,矛盾)。

注意到 单调递增趋于 (因为 是映到 的),故由测度的连续性知 ,但 ,矛盾。

顺便,这个题有简单证法。还是假设Riemann可积,则Lebesgue可积。再因为 非负可测以及 知道 几乎处处为 ,这就已经违背了映到 的条件了。

此外,用你说的(1)处处不连续也可以立刻看出来,因为黎曼可积等价于几乎处处连续,不过这个等价性的证明比较复杂。




  

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