能不能定义一个数 I，与 0 的乘积等于 1？ 第1页

有评论说我没有正面回答问题，那我就说清楚我到底回答了什么：第一：给出了复数域在数学上的严格定义，从而解释了“为什么把－1的平方根加进实数是一个可行的操作”；第二：解释了“为什么不能把1/0加进实数”，因为这样做会破坏实数的代数结构。

你老师没讲清楚。复数相比实数并不单纯是加了个i这么简单，你还得说明加了这个i之后和原有的代数系统是相容的。如果学过抽象代数的话，那复数域可以定义成：R[x]/(x^2+1), 实系数多项式环模掉x^2+1生成的理想。因为x^2+1在实数域上不可约，所以这样模出来是个域，我们把这个域叫做复数域。然后在一般的写法中我们实际上是把多项式环里的x写成了i，然后因为模掉的理想是x^2+1,所以i^2+1=0.

（稍微补充一下背景知识：R[x]是实数域R上的多项式环，根据标准的抽象代数里的环论，域上的一元多项式环是一个PID(principal ideal domain，主理想整区)。x^2+1是R上不可约多项式，因此是R[x]中不可约元。PID中的不可约元生成的理想，是一个极大理想。任何交换环模掉它的一个极大理想生成的商环，是一个域。这个域我们就定义为复数域。

至于什么是群环域，什么是理想，什么是商环，什么是PID，可以参考任何一本中文或者外文的抽象代数学教材，在这里不赘述，毕竟回答这个问题不等于做代数学科普，说清思路就行了）

题主可以思考一下：有没有必要给i继续开平方，然后把开出来的新元素加到复数域里面，继续扩大数域？答案是没有必要。因为存在一个复数，其平方为i.题主可以想想这个复数具体是多少。很多高中生对这个问题都不能正确理解，总以为对i继续开方会得到复数以外的数。其实不是这样。任何一个复数开任何整数次方，得到的还是一个复数。（针对评论补充一句，我并没有说开方是一个一一映射，我的意思是存在一个复数，其n次方为原来的复数，并没有说“唯一”）这是由复数的代数闭的性质保证的（但是这并不是代数闭的定义。代数闭是指任意非常数复系数多项式的根仍然是复数，比能开方的性质更强）。实数不是代数闭的（因为－1开方就不再是实数），而复数是代数闭的，这是复数区别于实数的一个很重要的性质。在数学的很多场合里面，大家都喜欢在复数域上做东西而不是实数域上做东西。一个很重要的原因就是复数的代数闭性。在某种意义上复数是比实数更良好、更“完美”的对象。

回到楼主的问题，为什么我们不考虑在实数里面加一个元素，使得它和0相乘为1？因为这样会破坏实数的性质，它会强迫0=1. 要使你得到的新的数系在逻辑上相容，你就必须修改实数的运算规则，比如说承认0可以等于1.但稍微一想就知道，这样做会导致所有的元素都等于0. 这样得到的数系就只含有一个元素，就没有意思了。

看了问题描述真是太心疼题主了TuT（如果我是老师的话，有学生问出这个问题我肯定非常激动！）

给出的是这个问题的『标准答案』，我想试着以高中生能理解的程度来解释一下这个标准答案。（与以前一样，为了可读性，会牺牲严谨性。想认真学还是应该看教材。）

回答分为两部分：第一部分是分析如果定义一个『与0的乘积等于1』的数会导致怎样的后果（实数毁灭）；第二部分是解释虚数单位是怎么出现的（使用『模法』）。

===============第一部分开始了呦===============

首先，对于题主问题的回答是：你当然可以定义一个『与0的乘积等于1』的数，但是这样会使得所有的实数都等于零，于是我们什么有趣的事情都干不了啦。

我们先来想一个问题：大家都知道，可是它们为什么相等呢？

这还不简单？因为啊！

这不是一个好答案，因为根据小数点的定义，，所以我们就需要进一步解释为什么以及为什么，于是问题变得更复杂了。

正确答案是：因为，所以.

切，那我也可以继续问啊！为什么就意味着？

因为我们就是这么定义两个分数相等的。

不妨先想一想分数到底是怎么回事：

一开始我们只有整数，然后我们把所有非零的整数召集起来，对它们说：『你们也可以当分母哟！』于是，我们就有了诸如和这样的分数。然而这个时候我们并没有对这些分数进行任何限制——没人说和就一定相等。

但是光创造数没有用，我们想做运算呀。现在什么规定都没有，那是啥？？

于是人们规定，对于两个分数和，如果，那么它们就相等。接着我们就可以定义分数的加法：分母相同的两个分数相加，分母不变，把分子加起来就好了！

这样一来，我们就有了可以做运算的分数（有理数）。更重要的是，当我们把原来的每个整数都当成时，有理数的运算和整数的运算是一致的。

这一点很重要。通常情况下，当我们说『整数集合包含1和2』时，不仅意味着1和2都是整数，而且这个『2』必须得是『1+1=2』的那个『2』。也就是说，我们平时使用的『整数』一词，不仅是指那些数字，而且还蕴含了数字之间的关系（即代数结构）。

所以，为了保证有理数包含整数，他们的运算必须一致，否则这个『整数』就不是我们通常说的那个『整数』了。

有了有理数之后，我们可以把它们扩充为实数。同样地，这里的『扩充』意味着有理数的代数结构不能改变。扩充为实数的方法我这里就不细说了。

现在再看之前的问题：如果定义了『与0的乘积等于1』的数会发生什么呢？

我们可以接着证明所有的实数都等于零，于是整数/有理数/实数的代数结构就被破坏了。所以，试图加入一个『与0的乘积等于1』的数，并不能扩充实数，反而会把实数整个毁掉……

（对学数学的同学多说一句：我们其实可以把环中任意一个对乘法封闭的子集作为分母集合，而对乘法封闭的子集显然是可以包含零的。但是只要包含了零，我们就只能得到一个等价类。具体可以看GTM73第三章第四节。）

===============第二部分开始了呦===============

那么虚数单位又是怎么出现的呢？

回答这个问题之前，我们先来做一个小小的计算：

没问题吧？好，看来大家都知道虚数单位是什么……好的，从现在开始，我们要假装自己不知道虚数单位，只知道实数。

接下来我们回顾一点点初中的知识：多项式加法、减法、乘法和因式分解。

是啥来着的……？

多项式加法就比如：，减法类似；

多项式乘法就比如：；

因式分解就比如：，这些大家都还记得吧=w=

顺便提醒一下：多项式除以多项式不一定是多项式，比如就不是多项式。

所以，两个（实系数）多项式做加法、减法、乘法之后仍然是（实系数）多项式。

（于是我们说实系数多项式构成了一个环，记作. ）

（啊，不要被『环』这个奇怪的词吓到，简单说来『环』就是一个可以做加法、减法、乘法的集合。整数、有理数、实数等等都是环。）

好的，接下来我们来讨论因式分解=w=

再看一眼之前的例子，

这里我们把一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积，而一次多项式显然不可能再继续被分解为两个多项式的乘积，除非其中一个是常数。于是，我们就说一次多项式是『不可约』的。

相对应地，可以被分解为两个次数更低的多项式的乘积，我们就说它是『可约』的。

那么二次多项式有不可约的吗？有，比如就不可约。（别忘了我们现在只知道实数！只知道实数！只知道实数！）

不可约！真是高冷！

没事，不可约，那我们就不要它了╭(╯^╰)╮

哼！好！不过啥叫『不要』？？

『不要』的意思就是：把所有的都换成零。

我们来看看这样会发生什么。举个例子，比如我们知道：

然后我们把所有高冷的都找出来：

接着，我们把高冷的换成零：

所以，当我们把换成零之后，运算结果就变成了：

诶嘿，是不是有点眼熟？再看看一开始复数乘法的例子：

哇！

我们发现，把所有换成零之后，多项式的乘法就跟复数的乘法一样了！

好神奇啊！这是巧合吗？？？

这不是巧合。

不妨设想一下，假如有个人只知道实数而不知道复数，我们如何向他解释是什么呢？

我们会说：就是一个平方等于的数，也就是说，

这不正是我们之前做的事情吗？

我们先在实数中加入了一个奇怪的『数』，记作，接着把所有都换成零。

所以，把实系数多项式环中所有换成零，就变得跟一样了，于是我们就可以得到复数（域）了。

复数域就是这么来的。（当然也可以直接定义，这里只讲代数方法。）

用数学语言来说，『把所有换成零』这个操作叫『模掉生成的理想』。

所谓『生成的理想』，在这里就是指一切的倍数，记作. 因为变为零，那么它的倍数肯定都变为零了嘛。所以所有的倍数，即生成的理想，都被『模掉』啦。

写成数学语言就是：

这个『模掉理想』的操作并不局限于. 实际上，我们把任何一个不可约多项式生成的理想模掉，都相当于是在原来的数域中加入了该多项式的根。

当然，我们一般用这个方法扩张有理数域而不是实数域，因为扩张一步之后得到复数域，就没法再继续这样扩张了（因为是代数闭域），而有很多有趣的扩张。

举个例子，不在有理数域中，而它是上的不可约多项式的根，所以我们如果想把加进中，我们就把有理系数多项式环模掉生成的理想，也就是：

那如果模掉可约多项式生成的理想会怎么样？比如，模掉会怎么样？

额，那就会得到一个很奇怪的东西……想一想，由于，我们把换成零，却没有把它的因子和换成零。这就意味着，将会有两个不是零的数乘起来是零……这样的环性质就太差了（连整环都不是），并不是原来数域的扩张。

走之前我想问你最后一个问题……

爱过，不可约，理想已被模掉，不是巧合……

不不不，不是这些。你刚刚说在中模掉就相当于是在中加入了的根，可是为什么不是加入呢？也是的根啊。

啊，这是个好问题。简单一点的回答就是，你在中加入或，得到的都是复数域. 更深层次的原因是，不可约多项式的根在代数上是没有办法区分的，加入『不同』的根，得到的扩域在代数上没有区别（同构）——这是伽罗瓦理论告诉我们的。不过在这里我就不多说了=w=

那么就这样=w=

简单来说：引入一个这样的数会对代数结构产生巨大的破坏。与其引入之后修修补补，不如不引入，除非以后真的有了应用场景。

考虑一下

但是：

所以：

所以：

？！

开局一张图，剩下全靠猜？这个没法评价。

从软件的角度虽然我能想出两三种导致这个现象的原因，但非正式发布的产品出现任何问题都是常见现象。盲人摸象的评价没有必要。

跟11代没差别，这个肯定是违背常识的，要知道11代i9只有16线程，12代i9有24线程，24线程超越16线程并不需要多么高超的优化技巧。

调度优化的主要难题是当我们只需要少量线程运作的时候究竟把这个线程安排在哪个核心。

然而，对于全核心全线程同时计算的场景来说，反正都是全核心上场，根本不需要什么优化，谁来都是全核心工作。

如果这个软件能把所有核心用满的话，没道理性能不变。所以肯定有某个环节出了问题。正式版本再说吧。