(G/H)×H是否同构于G？ 第1页
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不是，考虑整数加群 ，它的正规子群 与 同构，而商群 是2阶循环群，分别考虑群 和群 的生成元， 只有一个生成元，而 有两个，虽然这两个集合的元素个数是相等的(等势)，但是它们的群结构不相同(生成元不同)，所以 。
然后我们尝试寻找一个条件来让 成立，实际上反例往往也是为我们排雷的好帮手，受以上反例启发，我们应该尽量避免选取 为无限群，且最好要使 同构于 的一个子群( 的任何子群都不与 同构)。那么答案就更进一步了，我们都知道 是 过 的扩张，扩张核为 ，显然 ，若 同构于 的一个子群，则 就是半直积并同构于 。所以我们要找的就是一个能证明 的条件，我们不妨把条件定为：
同构于 的一个正规子群，即 。
这个条件让半直积 成为了内直积，那么上面的条件就是我们要的答案了，因为
结合 ，即得 。
Q.E.D
并且这个条件还是必要的，因为总有 。
而实际上定理2.5.5的描述还给出了一个更一般的内直积 同构于外直积 的充分必要条件。
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