如果你要向一位学过初级的抽象代数的本科生推销数学工具「正合序列」，你会如何介绍它？ 第1页

下面可能会提到Abel范畴这个概念，它说的不是“交换的代数对象构成范畴”，而是某种特殊的范畴，并且，某个环上的模范畴，以及Abel群构成的范畴，是Abel范畴。群范畴不是Abel范畴。（如果读者关心定义的话，它是“态射有交换的加法，有0对象，有同构的积和直和，有kernel和cokernel，且单态射都是kernel，满态射都是cokernel”的范畴）

Mitchell嵌入定理告诉我们，每个（小）Abel范畴都是某个环上的模范畴的一个完全子范畴。为了防止误解，Abel范畴不一定有projective和injective对象。（这句话不懂可以不用管）

另外，同态基本定理在Abel范畴是废话（是定义的一部分），但是非Abel范畴也没有正合列，所以不太能用正合列简单看出同态基本定理。

正合列不是天生用来研究群的，而是天生用来研究Abel范畴的，也就是天生用来研究模的，但是本科生抽象代数又过于局限于群，所以以下的主题是Abel群。另外，下面所述也可以原封不动的应用在线性空间上。

在本科生抽象代数课上，我们或多或少会问这样的问题：“怎么由两个小群/模出发，构造更大的群/模？”我们当然知道直积是一种构造；但显然大模不一定只有直积，例如 看起来就是一个 和另一个 不相交的粘在一起，但其实完全不是直积。但是， 商掉一个显然的 就是 。我们把这个商映射记作 ，把 到 的含入映射记作 ，那么 的kernel就是i的image。换句话说，i这个映射的像被 ”压缩”成了 ，而 恰好把 的像“压缩”成 。

我们用一个图来表示这个过程：

它表示的意思是，我们在 中通过映射 把 消灭掉，剩下的是 。（暂时先不要管 是从哪来的）

好奇的同学可能会问：“你这不就把商群给重新写了一遍吗？”别着急，我们接着往下看。

假如现在有一个映射 。按照上面的想法，假如有一个群 ，使得 在把 消灭掉之后正好剩下 ，那么 一定恰好由那些被 映到 的元素构成，于是就应当有 。可惜事实并不是如此。 把 消灭掉之后，还剩下的部分应该是 ，也就是 。为了说明 与 的不同，我们再从 中把 消灭掉，剩下的部分应该是 ，也就是 。

我们再用一张图来表示这个过程：

它表示，我们在 中把 消灭掉之后，得到的是 中的 ；再把 消灭掉，得到的是 。

仔细观察的同学可能已经看出来，假如这种图的局部长成 这样，那么在 中消灭了 ，也就是 的像之后，得到的部分恰好是 。稍作推导可以得到，上述命题其实等价于 。我们把处处满足上述等式的一列这样的箭头叫做“正合列”。

习题：如果有正合列 ，那么 。如果有正合列 ，那么 ，且中间的箭头必是同构。

由上面的讨论可以看出，正合列是一个非常强有力的工具，因为我们确定了一个正合列在一个点旁边的情况，基本上也就确定了这个点的情况。

下面这个命题也可以帮助读者验证对正合列的直观感觉。

习题：假如我们有有限阶Abel群的正合列 ，那么 。假如我们有有限维 -线性空间的正合列 ，那么 。

11.3更新。

喜欢问问题的同学可能要问：“你这正合列还是要我们自己把它写出来，没啥用啊！”那么接下来的定理则要告诉我们，正合列可以怎么产生。这样，我们就可以愉快的用正合列来做题啦！

具体而言，（初级）同调代数中最重要的定理大概是这个，因形状而被命名为snake lemma：（图片来自Wikipedia）

如果 正合， 正合，且中间的小方块都交换（也就是，在映射的复合下，“怎么走都一样”），那么这诱导正合列

（顺便说一句，其中映射的取法，是“尽量让映射交换”的取法。注意，这还给出了良定义性。不过一般来说可以不用太关心映射到底是怎么取的。）

读者可以不用深究这个定理的证明过程，但就算背结论都要把这个定理背下来（很重要！），因为这直接关系到我们接下来对同调群的讨论。另外，这个证明也不难，是只要花时间就能证出来的那种，所以请读者自行完成证明。

这个定理其实不算太直观，接受有这样的事实就好了。这基本上就是“怎么造正合列给我们用”这个问题的答案了。我们以后可能会遇到更多正合列构造方法，但不外乎由snake lemma产生。

下面这个定理就非常直观了，它因为形状被命名为five lemma：（图片来自Wikipedia）

如果横行正合，小块交换， 都是同构，那么 也是同构。形象地来说，这就是“两边两个同构夹一个同构”。这也验证了前文所提到的，正合列在一个点的两侧被确定了，那么中间就几乎被唯一确定了。

注意，满足正合列 的问号位置的交换群不唯一，因为我们在证明中要求了小块交换。

这个证明也是读者自证不难。

习题：上网搜索3*3 lemma，并在强行假设群范畴是Abel范畴（从而可以套结论）的前提下，证明以下定理： 。事实上，这个结论也是正确的，大致证明就是照抄3*3 lemma的证明。另外，群范畴其实是半Abel范畴，“正合列”这个说法是无效的，但如果把态射限定在某种“正规映射”上，仍然能强行假装它Abel（只是limit和colimit不封闭而已）。

（待更新：同调群；正合函子，初等范畴论；拟同构，Kan extension，projective消解，导出函子；群的上同调，拓扑空间的上同调，层的上同调。想到哪讲到哪，保证不会写完这么多，否则就去出版教科书了。）

（本文遵从CC BY-SA 3.0协议。）