下面可能会提到Abel范畴这个概念,它说的不是“交换的代数对象构成范畴”,而是某种特殊的范畴,并且,某个环上的模范畴,以及Abel群构成的范畴,是Abel范畴。群范畴不是Abel范畴。(如果读者关心定义的话,它是“态射有交换的加法,有0对象,有同构的积和直和,有kernel和cokernel,且单态射都是kernel,满态射都是cokernel”的范畴)
Mitchell嵌入定理告诉我们,每个(小)Abel范畴都是某个环上的模范畴的一个完全子范畴。为了防止误解,Abel范畴不一定有projective和injective对象。(这句话不懂可以不用管)
另外,同态基本定理在Abel范畴是废话(是定义的一部分),但是非Abel范畴也没有正合列,所以不太能用正合列简单看出同态基本定理。
正合列不是天生用来研究群的,而是天生用来研究Abel范畴的,也就是天生用来研究模的,但是本科生抽象代数又过于局限于群,所以以下的主题是Abel群。另外,下面所述也可以原封不动的应用在线性空间上。
在本科生抽象代数课上,我们或多或少会问这样的问题:“怎么由两个小群/模出发,构造更大的群/模?”我们当然知道直积是一种构造;但显然大模不一定只有直积,例如 看起来就是一个 和另一个 不相交的粘在一起,但其实完全不是直积。但是, 商掉一个显然的 就是 。我们把这个商映射记作 ,把 到 的含入映射记作 ,那么 的kernel就是i的image。换句话说,i这个映射的像被 ”压缩”成了 ,而 恰好把 的像“压缩”成 。
我们用一个图来表示这个过程:
它表示的意思是,我们在 中通过映射 把 消灭掉,剩下的是 。(暂时先不要管 是从哪来的)
好奇的同学可能会问:“你这不就把商群给重新写了一遍吗?”别着急,我们接着往下看。
假如现在有一个映射 。按照上面的想法,假如有一个群 ,使得 在把 消灭掉之后正好剩下 ,那么 一定恰好由那些被 映到 的元素构成,于是就应当有 。可惜事实并不是如此。 把 消灭掉之后,还剩下的部分应该是 ,也就是 。为了说明 与 的不同,我们再从 中把 消灭掉,剩下的部分应该是 ,也就是 。
我们再用一张图来表示这个过程:
它表示,我们在 中把 消灭掉之后,得到的是 中的 ;再把 消灭掉,得到的是 。
仔细观察的同学可能已经看出来,假如这种图的局部长成 这样,那么在 中消灭了 ,也就是 的像之后,得到的部分恰好是 。稍作推导可以得到,上述命题其实等价于 。我们把处处满足上述等式的一列这样的箭头叫做“正合列”。
习题:如果有正合列 ,那么 。如果有正合列 ,那么 ,且中间的箭头必是同构。
由上面的讨论可以看出,正合列是一个非常强有力的工具,因为我们确定了一个正合列在一个点旁边的情况,基本上也就确定了这个点的情况。
下面这个命题也可以帮助读者验证对正合列的直观感觉。
习题:假如我们有有限阶Abel群的正合列 ,那么 。假如我们有有限维 -线性空间的正合列 ,那么 。
11.3更新。
喜欢问问题的同学可能要问:“你这正合列还是要我们自己把它写出来,没啥用啊!”那么接下来的定理则要告诉我们,正合列可以怎么产生。这样,我们就可以愉快的用正合列来做题啦!
具体而言,(初级)同调代数中最重要的定理大概是这个,因形状而被命名为snake lemma:(图片来自Wikipedia)
如果 正合, 正合,且中间的小方块都交换(也就是,在映射的复合下,“怎么走都一样”),那么这诱导正合列
(顺便说一句,其中映射的取法,是“尽量让映射交换”的取法。注意,这还给出了良定义性。不过一般来说可以不用太关心映射到底是怎么取的。)
读者可以不用深究这个定理的证明过程,但就算背结论都要把这个定理背下来(很重要!),因为这直接关系到我们接下来对同调群的讨论。另外,这个证明也不难,是只要花时间就能证出来的那种,所以请读者自行完成证明。
这个定理其实不算太直观,接受有这样的事实就好了。这基本上就是“怎么造正合列给我们用”这个问题的答案了。我们以后可能会遇到更多正合列构造方法,但不外乎由snake lemma产生。
下面这个定理就非常直观了,它因为形状被命名为five lemma:(图片来自Wikipedia)
如果横行正合,小块交换, 都是同构,那么 也是同构。形象地来说,这就是“两边两个同构夹一个同构”。这也验证了前文所提到的,正合列在一个点的两侧被确定了,那么中间就几乎被唯一确定了。
注意,满足正合列 的问号位置的交换群不唯一,因为我们在证明中要求了小块交换。
这个证明也是读者自证不难。
习题:上网搜索3*3 lemma,并在强行假设群范畴是Abel范畴(从而可以套结论)的前提下,证明以下定理: 。事实上,这个结论也是正确的,大致证明就是照抄3*3 lemma的证明。另外,群范畴其实是半Abel范畴,“正合列”这个说法是无效的,但如果把态射限定在某种“正规映射”上,仍然能强行假装它Abel(只是limit和colimit不封闭而已)。
(待更新:同调群;正合函子,初等范畴论;拟同构,Kan extension,projective消解,导出函子;群的上同调,拓扑空间的上同调,层的上同调。想到哪讲到哪,保证不会写完这么多,否则就去出版教科书了。)
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