请简单地表述结合律和交换律的区别和联系。结合律为什么那么普遍？ 第1页

一个数学结构要足够普遍，肯定不能有太多限制。两个运算比一个运算复杂，所以基础结构只有一个运算就够了，当然不用考虑分配律吸收律德摩根律这些东西。

至于为什么单运算的性质选择了结合律，这就很有意思了。

结合律最早被高斯关注。高斯继承欧拉对整数同余运算的研究，想出了类似群的结构，并在研究二次型的组合问题（composition of binary quadratic form）时，提出了『组合』运算的结合律。但是可惜高斯没继续研究更一般的理论，不然就没伽罗华什么事了。后来很多数学家就一直延续高斯的定义逐步扩展更一般的理论，直到伽罗华最终建立抽象代数。

要知道，矩阵正式被提出的时候是1848年，那时候伽罗华坟头草已经换了好几茬了。至于线性代数乃至泛函分析被深入研究则是二十世纪的事情。然而这些新东西依然能装到『群』这个大筐里，看起来背后确实有更本质的东西。

一个解释是，大部分应用领域需要的数学和线性算子有关，既然是线性算子，就逃不过矩阵乘法，自然结合律更重要。而线性化是人类的无奈之举，不把复杂问题近似成线性问题根本无法解决。其实数学家也研究运算不满足结合律的代数结构，比如『magma』、『loop』。但是这些东西实际应用不广，关心的人也很少。

还有一个更抽象的解释，结合律让『运算』可以无限组合成更复杂的运算，这样能抽象出运算的基本单元，符合知识模块化的需求。比如你要盖房子，交换律允许你先放第一块砖还是第二块砖，但是整个房子还是要一块块砖垒起来；而结合律可以让你先把很多砖先砌成一堵墙，再把墙拼起来。所以研究通用数学结构的范畴论就采用了和群类似的定义。一个范畴（category）由三个部分组成：一个对象类（class of objects），一个态射类（class of morphisms）和一个态射组合算子 ，这个算子要满足结合律并有单位元。举个例子，有个范畴C，它的对象类是所有集合的全体（注意全体集合不组成一个集合，而是一个类，所以不叫对象集），态射类的元素是从一个集合到另一个集合的函数，那组合算子就是函数的复合运算。假设不满足结合律，那 （注意函数复合是右结合的），我们就不能先把 视为整体先研究，再和 组合到一起。这不利于知识的抽象。