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i 的平方为什么等于 -1? 第1页

  

user avatar   wang-zheng-12-87 网友的相关建议: 
      

谢邀.

首先建议题主先看一下复数的维基百科

复数 (数学)

中的历史部分。

中文的感觉写的不是很详细,有能力可以看一下英文的

Complex number

其中的history部分。

wiki上说,复数的起源是三次方程求根公式,这个就不搬运和多解释了,如果题主看不懂再议。

下面说一点自己的理解,换个例子解释一下为什么一定要假想一个平方等于-1的数.这些并不是历史,只是个人理解.

虽然题主是文科生,但是想必也是学过数列的吧.那么对于大名鼎鼎的斐波纳契数列应该并不陌生.这个数列是:

斐波纳契数列有很多直观解释,比如大兔子生小兔子什么的……在此不多赘述。

那么我们就很想知道,这个数列的通项公式是什么.显然这个数列不是简单的等差数列或者等比数列.

现在,我们考虑一种更一般的数列:

为了求解通项公式,我们考虑这样一个二次方程:

如果这个方程有两个不等的实根,那么根据韦达定理,有.

这个文科生也应该学过吧,别跟我说你都还给老师了……

那么对递推公式变形,两边同减去,就有

这个式子说明,是公比为的等比数列.这是一个非常好的性质,这也就是一开始为什么要考虑那个二次方程的两根的原因.

因此,就会有等式

其中常数A待定

同理,如果两边同减去,就会得到另一个等比数列,因此就会得到下面的等式

其中常数B待定

两式相减,就可以把解出来,即

,其中是两个待定常数.

现在只用了递推公式这一个信息,还有初值没有用呢.而初值有两个,两个方程两个未知数,恰好能把确定下来,因此整个的通项公式就确定了.

这个方法称为特征根法或者特征方程法,二次方程就叫做这个数列的特征方程,而两个根就叫做特征根.

现在可以回头来看斐波那契数列,对应的特征方程是,特征根就可以用二次方程的求根公式解出来,即.

利用上面的方法,就可以得到斐波那契数列的通项公式,

这个公式叫做Binet公式.虽然数列每一项都是整数,但是最后的表达式却带有无理数,还是很神奇的.

现在我们回头来看特征方程,如果方程有两个不等实根的话,那么这种数列我们已经完全解决了.那么什么时候有两个不等实根呢?判别式.

若,方程恰有两个不等实根.

若,方程有两个相等的实根,这种情况留作习题.

现在我们来看的情况,形式上,我们也可以写方程的两根,分别是

当然,题主肯定会问,哪里会有根号下负数呢?这个是不成立的.

虽然根号下负数不对,但是数列还是在啊.比如说我们考虑这样一个数列:

这个数列是可以写出来的:

但是通项公式却没办法按照上面的方法来求.但是不要在意这些细节,先求求看.

按照求根公式,解出来的两个根是.

并且假设这种带的数的运算和实数的运算是差不多的,那么上面的推导依旧成立.

因此,就有

解方程得到,(乘方别想太多,就按照实数来算),因此

这就是通项公式了.

也就是说,本质上还是在求根的过程中碰到了对负数开根号,但是这个事情又没办法避免,所以先试探着能不能带着去运算,然后就得到了所谓的复数.

当然,后来慢慢发现复数有各种各样的好的性质,还有全纯函数,黎曼面,复流形这些东西,以及复数在物理上面一大堆的应用,那就是后话了.




  

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