i 的平方为什么等于 -1？ 第1页

谢邀.

首先建议题主先看一下复数的维基百科

中的历史部分。

中文的感觉写的不是很详细，有能力可以看一下英文的

其中的history部分。

wiki上说，复数的起源是三次方程求根公式，这个就不搬运和多解释了，如果题主看不懂再议。

下面说一点自己的理解，换个例子解释一下为什么一定要假想一个平方等于-1的数.这些并不是历史，只是个人理解.

虽然题主是文科生，但是想必也是学过数列的吧.那么对于大名鼎鼎的斐波纳契数列应该并不陌生.这个数列是：

斐波纳契数列有很多直观解释，比如大兔子生小兔子什么的……在此不多赘述。

那么我们就很想知道，这个数列的通项公式是什么.显然这个数列不是简单的等差数列或者等比数列.

现在，我们考虑一种更一般的数列：

为了求解通项公式，我们考虑这样一个二次方程：

如果这个方程有两个不等的实根，那么根据韦达定理，有.

这个文科生也应该学过吧，别跟我说你都还给老师了……

那么对递推公式变形，两边同减去，就有

这个式子说明，是公比为的等比数列.这是一个非常好的性质，这也就是一开始为什么要考虑那个二次方程的两根的原因.

因此，就会有等式

其中常数A待定

同理，如果两边同减去，就会得到另一个等比数列，因此就会得到下面的等式

其中常数B待定

两式相减，就可以把解出来，即

，其中是两个待定常数.

现在只用了递推公式这一个信息，还有初值没有用呢.而初值有两个，两个方程两个未知数，恰好能把确定下来，因此整个的通项公式就确定了.

这个方法称为特征根法或者特征方程法，二次方程就叫做这个数列的特征方程，而两个根就叫做特征根.

现在可以回头来看斐波那契数列，对应的特征方程是，特征根就可以用二次方程的求根公式解出来，即.

利用上面的方法，就可以得到斐波那契数列的通项公式，

这个公式叫做Binet公式.虽然数列每一项都是整数，但是最后的表达式却带有无理数，还是很神奇的.

现在我们回头来看特征方程，如果方程有两个不等实根的话，那么这种数列我们已经完全解决了.那么什么时候有两个不等实根呢？判别式.

若，方程恰有两个不等实根.

若，方程有两个相等的实根，这种情况留作习题.

现在我们来看的情况，形式上，我们也可以写方程的两根，分别是

当然，题主肯定会问，哪里会有根号下负数呢？这个是不成立的.

虽然根号下负数不对，但是数列还是在啊.比如说我们考虑这样一个数列：

这个数列是可以写出来的：

但是通项公式却没办法按照上面的方法来求.但是不要在意这些细节，先求求看.

按照求根公式，解出来的两个根是.

并且假设这种带的数的运算和实数的运算是差不多的，那么上面的推导依旧成立.

因此，就有

解方程得到，（乘方别想太多，就按照实数来算），因此

这就是通项公式了.

也就是说，本质上还是在求根的过程中碰到了对负数开根号，但是这个事情又没办法避免，所以先试探着能不能带着去运算，然后就得到了所谓的复数.

当然，后来慢慢发现复数有各种各样的好的性质，还有全纯函数，黎曼面，复流形这些东西，以及复数在物理上面一大堆的应用，那就是后话了.