在整环中，若两个非零元存在最大公约数，则它们是否一定也存在最小公倍数？ 第1页
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smiledaniel 网友的相关建议:
好像并不对。
先仔细定义一下最大公约数。d=hcf(a,b)需要满足d|a, d|b并且任意满足这个性质的c都有d|c。同理l=lcm(a,b)应该是满足a|l, b|l并且任意满足这个性质的c都有l|c。
lcm存在推出hcf存在：
考虑d=ab/lcm。注意到d是ring里面的element，因为 。这个d也是hcf，因为首先 ；所以d是一个公约数。如果另外一个c也是公约数，那么 ，所以 。所以d就是hcf。
hcf并不能推出lcm反例：
考虑 的满足 是偶数的subring（因为0*0=0,0+0=0 mod2)，然后考虑 。hcf是1，因为 ，所以猜lcm是4x，但是取c=2x^3就有 。所以lcm不存在。
另一方面如果任意pair的两个hcf都存在，那确实可以推出lcm存在。更强的结论是
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