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在整环中,若两个非零元存在最大公约数,则它们是否一定也存在最小公倍数? 第1页

  

user avatar   smiledaniel 网友的相关建议: 
      

好像并不对。

先仔细定义一下最大公约数。d=hcf(a,b)需要满足d|a, d|b并且任意满足这个性质的c都有d|c。同理l=lcm(a,b)应该是满足a|l, b|l并且任意满足这个性质的c都有l|c。

lcm存在推出hcf存在:

考虑d=ab/lcm。注意到d是ring里面的element,因为 。这个d也是hcf,因为首先 ;所以d是一个公约数。如果另外一个c也是公约数,那么 ,所以 。所以d就是hcf。

hcf并不能推出lcm反例:

考虑 的满足 是偶数的subring(因为0*0=0,0+0=0 mod2),然后考虑 。hcf是1,因为 ,所以猜lcm是4x,但是取c=2x^3就有 。所以lcm不存在。


另一方面如果任意pair的两个hcf都存在,那确实可以推出lcm存在。更强的结论是




  

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