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抛开物理意义,数学家在纯代数中讨论张量积或者多重线性映射的思想背景是什么? 第1页

  

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从范畴论的角度来看,张量积可以被自然地定义为Hom函子的左伴随函子,而双线性映射的定义则给出了一个具体的构造说明了Hom函子的确是有左伴随的:

设 是环, 是右 -模, 是左 -模,则张量积 被定义为 生成的自由交换群商掉由下面一系列元素生成的子群:

更为熟悉的定义是通过万有性质来定义的:任意的平衡双线性映射 总可以分解为一个交换群同态 和一个固定的双线性映射 的复合。

从范畴论的角度来说, 表示了函子 ,即对任意交换群 有

其中 是所有平衡双线性映射 组成的交换群,所以这是一个从交换群范畴到交换群范畴的函子。因此从Yoneda引理的角度来看,这个定义下的张量积 是在典范同构的意义下唯一的。

通过这个定义,可以清楚地知道张量积是Hom的左伴随。设 是另一个环,并假设 同时有右 -模的结构。那么对任意的右 -模 和右 -模 有

这里涉及到了两个函子: 和 。这个自然同构的构造很简单:注意到左边是 (但不完全是,需要整合进右 -模的结构)。因此可以构造

另一方面,

可以验证这两个映射互为反函数。同样地,可以验证张量积和Hom在左模范畴里也是互为伴随的。

这个张量积和Hom的伴随关系可以给出很多有用的结构。例如Hom作为右伴随是永远左正合的,这可以证明投射模的两个等价定义;而张量积作为左伴随是右正合的,这也可以用来定义平坦模。进一步地,可以用Tor和Ext函子来考察张量积(缺少)的左正合性和Hom(缺少)的右正合性。




  

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