同调群在拓扑以外有什么应用？ 第1页

提一点同调在物理中的应用

1.N=1超对称量子力学

考虑一个量子力学系统，其哈密顿量为 ，态空间为引入了张量代数结构的希尔伯特空间 下标 是因为在物理学中，这样的态空间称为 空间.根据超选择定则， 存在一个直和分解： ，前者和后者中的态分别称为玻色态和费米态.同时存在超选择定则下的超选择算符 使得：

这样的算符 称为手征算符.现在考虑如下的超对称生成元：

({}为反对易子： ).易证超对称生成元之间满足对易关系:

那么具有上述性质的超对称生成元的量子力学称为超对称量子力学.

一个超对称量子力学有如下两个很容易证明的性质：

1.哈密顿算符 满足： 从而对于任意态 均有：

2. .

现在把 按照哈密顿算符 的特征空间进行分解： ，那么超对称生成元 保持各个子空间不变： .同时如果把每个子空间都分解成玻色子空间与费米子空间： 那么超对称生成元满足：

由于超对称生成元满足 所以我们可以定义一个 -graded complex

因此可以定义这个complex上的cohomology:

又因为上面的哈密顿算符分解，所以有：激发态

从而说明在激发态， -cohomology是平凡的.但是在基态的时候，

由此可见在超对称基态时，体系具有特殊的性质.

引入 ，则 ，当 时 ，所以在 时算符 保持能级不变其作用相当于是交换了 和 .所以运用这个算符我们可以得到： 但是 时 从而说明超对称基态中玻色态与费米态不是一一对应的.(上面 -cohomology在基态非平凡也隐隐约约暗示了这一点)为了衡量这一特殊性，引入如下的witten index:

它用来衡量超对称基态是否出现超对称破缺.其路径积分表达式为： 下标 代表这个是欧里几得空间中的作用量，下标 表示周期性条件 .

现在考虑一个具体的超对称量子力学模型：给定黎曼流形 其上的一个拉氏量定义为：

玻色场 为映射 , 为给定物理参数取值的区间.费米场 为截面：

这里的 为协变导数 , 为度量 诱导的联络 为联络诱导的黎曼曲率张量.该拉氏量在如下的超对称变换下保持不变：

对应的Noether Charge即为超对称生成元： , 为玻色场的共轭动量.取自然的希尔伯特空间 ，其上内积为： ( 为 上的Hodge Star算子)

做正则量子化： 于是场变为场算符，它们在希尔伯特空间上的表达式为：

超对称算符和哈密顿算符转化为：

讨论非平凡的超对称基态：

根据上面这个等式即有： 等式左边为黎曼流形上的调和形式，等式右边为p-调和形式.另外一方面，根据前面对于超对称量子力学的一般结构的讨论可以得到在超对称基态时， -cohomology和超对称基态是同构的.而这里的 -cohomology刚好为De Rham cohomology，所以有 联立这两个式子得到结果:

这正是著名的De Rham定理.此时的witten index：

为流形上的欧拉示性数.

对拉氏量做wick转动并舍弃全微分项得到欧氏作用量：

把场函数做傅里叶展开：

超对称基态的系数是为了保持在1级近似的情况下路径积分结果与 无关.现在将傅里叶展开式带入欧氏作用量中得到：

将该式子带入witten index的路径积分表示即得到：

此即Gauss-Bonnet公式.上面的路径积分在非平凡的超对称基态积分得到了欧拉示性数，而在激发态上积分的结果为1.

综上,以 -complex为基础的 -cohomology最终给出了流形上的拓扑不变量，并得到了包含黎曼流形内蕴性质的高斯-傅内公式.

2.狄拉克磁单极子与拓扑荷(拓扑量子化)

考虑一个带电粒子在一个磁单极子所产生的球形磁场中运动，其拉氏量可以写成：

拉氏量中的最后一项可以视为该粒子环绕某个闭合曲线 运动时电磁势 的累积： .

由于球面 由多个开集覆盖(至少两个)所以如果带电荷的粒子在形如上面这样由两个(先考虑两个)开集所覆盖的区域运动时，不同的开集上的电磁势不同，就有 .如果考虑重叠区中的另外一个点 ( 和 不重合)那么类似的就会有积分 由于对于开集的选取不影响对可观测量的观测，所以 和 之间必须相差一个规范变换： 那么就有： .又因为等式： 不依赖于点 的选取，所以对于上面这个二重重叠区我们最终有：

.

进一步地，如果我们在上面的三重区域中，如果仿照上面的二重重叠区域，就可以得到：

而这三个开集的两两重叠区中，均有：

于是就有： ，所以在 中， 为一个常数.上面的内容看似没有问题，但是如果我们考虑将带电粒子沿着闭合回路 运动时的路径积分写出来是时便有： 此时前面的相位因子表明，对于在多个开集的重叠区中运动时，运动路径的选择将会产生可观测的效应，而这是违背基本的物理假设的.为解决这一问题，就必须有 .为了更确切地看出这一点，我们考虑电磁张量在整个球面 上的积分(它相当于是原点处磁单极子磁场的贡献)：

而在上图这样子的区域中，有： ，交叠区中则是： .

所以在上面这样的三重交叠区中，电磁张量积分时总的贡献为： 所以一开始时，电磁张量在球面的积分为：

该条件称为Dirac电磁量子化条件，正是根据该条件Dirac推导出如果存在磁单极子那么电荷一定是量子化的.

在物理中类似于Dirac磁单极子中的电磁量子化(拓扑量子化)的例子还有很多，它们大量出现在nonlinear-sigma-model中有关于拓扑项(例如Wess-zumino term)的量子化.下面是一个简单的2维场论中的例子：考虑一个没有特定边界的二维流形 ， 可以是 等等.那么一个经典场由映射 所给出，其中流形 为某个给定的一般流形.此时，如下所述的拉氏量中与流形 上有关的2-形式： 所扮演的角色与上面Dirac磁单极子中对电磁势的线积分相同， 则是这一例子中的“被积分的电磁势”.现在仿照Dirac磁单极子中的讨论：

左边这副图给出：

右边这副图给出:

同时

由此可得量子化条件.例如在有共同交点 上的三重交叠区域：

积分写成：

(注意到这个区域的图形是一个以点 为节点的Y形分叉)如果有两个节点的Y形分叉为：

那么就是：

(这里的Y形分叉一个节点为 一个节点为 )

四重重叠区则是：

为了将上面Dirac所推出的内容以及2维nonlinear-sigma model的内容中推广到一般的情况下，我们需要上同调的工具.定义一个取值在 上的 是一个映射，它赋予每个 一个非奇异的 (例如上面的例子中，每个开集 上都有一个 ，因此所有 的集合构成一个取值于 的 ).记所有取值在 上的 组成的集合为 ，于是可以定义 与 之间的 算子： ，在 取值很小的时候，该算符的运算定义为：

由此可以得到该算符在 较大时候是怎样运算的，并且易证 .由此可以定义出一个cohomology:

(我所阅读的资料中称这个cohomology class为Cech cohomology，但是我不是很确定这个是否是数学上的Cech cohomology，为了避免出错我这边不对 进行称呼).按照 的定义，我们可以用下面的这个double-chain-complexes来描述：

纵列方向上的是外微分算子 定义的de Rham cohomology，横向方向上是 算子 定义的cohomology: .通常，我们会把微分形式定义在流形上，并且令 取值于 上，由此得到的double-chain-complexes为：

在我们所给出的Dirac磁单极子例子中，这样的double-chain-complexes如下所示：

2维nonelinear-sigma model的double-chain-complexes如下所示：

注意到Dirac 磁单极子和2维nonelinear-sigma model的例子中的量子化就来自于 和 更进一步地我们可以说 与 是一个带有整数系数的cohomology class.因此说明，之所以量子化条件是因为给定的流形的拓扑结构使得其上可以有带整数系数的cohomology classes 与之相容.所以将这两个例子进一步外推，在一般的流形 上，一个给定的场构型中是否能够存在类似量子化条件的拓扑荷取决于这个流形的拓扑结构能否给出一个带整数系数的cohomology classes，而这个信息可以通过上面的 这个cohomology classes来判断.

物理中，在d维时空流形 ( 等)给定的经典场系统由一个拉氏量L 所给出： 前者可以为带有相互作用项的动能项， 为一个密度项而非微分形式，即在时空坐标做变换时 是按照雅可比矩阵的行列式来坐标变换.而 则被称为拓扑项，它是一个微分形式，同时在时空坐标变换下 是按照雅可比矩阵来变换的.在 上同调类的语言下，拓扑项 为 上的 ，所有转换函数组成的集合为 .在 维流形 上的 重重叠区中，此时有局部为常数的 .这样的 定义了 中的cohomology class.而量子力学则对经典的场系统给出了限制: 中的 必须为 以此才能定义出良好的路径积分.即 必须包含整数.把double-chain complexes写出来后，纵列方向上的整体闭形式 定义了deRham cohomology 中的元素.由于 与 是同构的，所以 中包含的拓扑纤信息也包含在 之中.即“ 流过 维的无边子流形时的总贡献由子流形上所有开集的 的总和所给出，出于量子力学的限制 所以 流在边界上流出的积分为 ”